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從一個R語言案例學(xué)線性回歸
2017-07-10
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從一個R語言案例學(xué)線性回歸

數(shù)據(jù)分析師用r語言做數(shù)據(jù)分析的時候會很多，也有很多數(shù)據(jù)分析師對于用r語言不是很了解，下面就談?wù)撘幌拢?

線性回歸簡介：如下圖所示，如果把自變量（也叫independent variable）和因變量（也叫dependent variable）畫在二維坐標上，則每條記錄對應(yīng)一個點。線性回規(guī)最常見的應(yīng)用場景則是用一條直線去擬和已知的點，并對給定的x值預(yù)測其y值。而我們要做的就是找出一條合適的曲線，也就是找出合適的斜率及縱截矩。

SSE & RMSE

上圖中的SSE指sum of squared error，也即預(yù)測值與實際值之差的平方和，可由此判斷該模型的誤差。但使用SSE表征模型的誤差有些弊端，比如它依賴于點的個數(shù)，且不好定其單位。所以我們有另外一個值去稱量模型的誤差。RMSE（Root-Mean-Square Error）。

由N將其標準化，并且其單位與變量單位相同。

案例

許多研究表明，全球平均氣溫在過去幾十年中有所升高，以此引起的海平面上升和極端天氣頻現(xiàn)將會影響無數(shù)人。本文所講案例就試圖研究全球平均氣溫與一些其它因素的關(guān)系。

本例我們以1983年5月到2006年12月的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，以之后的數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)集。

數(shù)據(jù)

首先加載數(shù)據(jù)

temp <- read.csv("climate_change.csv")

數(shù)據(jù)解釋

Year 年份 M

Month 月份 T

emp 當(dāng)前周期內(nèi)的全球平均氣溫與一個參考值之差

CO2, N2O，CH4,CFC.11，CFC.12：這幾個氣體的大氣濃度 Aerosols

模型選擇

線性回歸模型保留兩部分。

"數(shù)據(jù)分析師'選擇目標feature。我們數(shù)據(jù)中，有多個feature，但并非所有的feature都對預(yù)測有幫助，或者并非所有的feature都需要一起工作來做預(yù)測，因此我們需要篩選出最小的最能預(yù)測出接近事實的feature組合。

確定feature系數(shù)（coefficient）。feature選出來后，我們要確定每個feature對預(yù)測結(jié)果所占的權(quán)重，這個權(quán)重即為coefficient

結(jié)合實例選擇模型

初始選擇所有feature
選擇所有feature作為第一個model1，并使用summary函數(shù)算出其Adjusted R2為0.7371。

model1 <- lm(Temp ~ MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols, temp) summary(model1)



逐一去掉feature

在model1中去掉任一個feature，并記下相應(yīng)的Adjusted R2如下


Feature

Adjusted R2

CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.6373

MEI + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7331

MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.738

MEI + CO2 + CH4 + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7339

MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7163

MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + TSI + Aerosols

0.7172

MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + Aerosols

0.697

MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI

0.6883

本輪得到Temp ~ MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

從model2中任意去掉1個feature，并記下相應(yīng)的Adjusted R2如下


Feature

Adjusted R2

CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.6377

MEI + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7339

MEI + CO2 + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7346

MEI + CO2 + N2O + CFC.12 + TSI + Aerosols

0.7171

MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + TSI + Aerosols

0.7166

MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + Aerosols

0.698

MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI

0.6891

任一組合的Adjusted R2都比上一輪小，因此選擇上一輪的feature組合作為最終的模型，也即Temp ~ MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

由summary(model2)可算出每個feature的coefficient如下 。


線性回歸介紹

在線性回歸中，數(shù)據(jù)使用線性預(yù)測函數(shù)來建模，并且未知的模型參數(shù)也是通過數(shù)據(jù)來估計。這些模型被叫做線性模型。最常用的線性回歸建模是給定X值的y的條件均值是X的仿射函數(shù)。

線性回歸是回歸分析中第一種經(jīng)過嚴格研究并在實際應(yīng)用中廣泛使用的類型。這是因為線性依賴于其未知參數(shù)的模型比非線性依賴于其位置參數(shù)的模型更容易擬合，而且產(chǎn)生的估計的統(tǒng)計特性也更容易確定。

上面這段定義來自于維基百科。

這個錯誤估計函數(shù)是去對x(i)的估計值與真實值y(i)差的平方和作為錯誤估計函數(shù)，前面乘上的1/2m是為了在求導(dǎo)的時候，這個系數(shù)就不見了。至于為何選擇平方和作為錯誤估計函數(shù)，就得從概率分布的角度來解釋了。
如何調(diào)整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法，本文會重點介紹梯度下降法和正規(guī)方程法。

梯度下降

在選定線性回歸模型后，只需要確定參數(shù)θ，就可以將模型用來預(yù)測。然而θ需要使得J(θ)最小。因此問題歸結(jié)為求極小值問題。
梯度下降法流程如下：

1. 首先對θ賦值，這個值可以是隨機的，也可以讓θ為一個全零向量。

2. 改變θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向進行調(diào)整。

梯度方向由J(θ)對θ的偏導(dǎo)數(shù)確定，由于求的是極小值，因此梯度方向是偏導(dǎo)數(shù)的反方向。更新公式為為：


這種方法需要對全部的訓(xùn)練數(shù)據(jù)求得誤差后再對θ進行更新。（α為學(xué)習(xí)速度）

正規(guī)方程（Normal Equation）數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)


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') } function initGt() { var handler = function (captchaObj) { captchaObj.appendTo('#captcha'); captchaObj.onReady(function () { $("#wait").hide(); }).onSuccess(function(){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); $('.getcheckcode').trigger('click'); }); window.captchaObj = captchaObj; }; $('#captcha').show(); $.ajax({ url: "/login/gtstart?t=" + (new Date()).getTime(), // 加隨機數(shù)防止緩存 type: "get", dataType: "json", success: function (data) { $('#text').hide(); $('#wait').show(); // 調(diào)用 initGeetest 進行初始化 // 參數(shù)1：配置參數(shù) // 參數(shù)2：回調(diào)，回調(diào)的第一個參數(shù)驗證碼對象，之后可以使用它調(diào)用相應(yīng)的接口 initGeetest({ // 以下 4 個配置參數(shù)為必須，不能缺少 gt: data.gt, challenge: data.challenge, offline: !data.success, // 表示用戶后臺檢測極驗服務(wù)器是否宕機 new_captcha: data.new_captcha, // 用于宕機時表示是新驗證碼的宕機 product: "float", // 產(chǎn)品形式，包括：float，popup width: "280px", https: true // 更多配置參數(shù)說明請參見：http://docs.geetest.com/install/client/web-front/ }, handler); } }); } function codeCutdown() { if(_wait == 0){ //倒計時完成 $(".getcheckcode").removeClass('dis').html("重新獲取"); }else{ $(".getcheckcode").addClass('dis').html("重新獲取("+_wait+"s)"); _wait--; setTimeout(function () { codeCutdown(); },1000); } } function inputValidate(ele,telInput) { var oInput = ele; var inputVal = oInput.val(); var oType = ele.attr('data-type'); var oEtag = $('#etag').val(); var oErr = oInput.closest('.form_box').next('.err_txt'); var empTxt = '請輸入'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var errTxt = '請輸入正確的'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var pattern; if(inputVal==""){ if(!telInput){ errFun(oErr,empTxt); } return false; }else { switch (oType){ case 'login_mobile': pattern = /^1[3456789]\d{9}$/; if(inputVal.length==11) { $.ajax({ url: '/login/checkmobile', type: "post", dataType: "json", data: { mobile: inputVal, etag: oEtag, page_ur: window.location.href, page_referer: document.referrer }, success: function (data) { } }); } break; case 'login_yzm': pattern = /^\d{6}$/; break; } if(oType=='login_mobile'){ } if(!!validateFun(pattern,inputVal)){ errFun(oErr,'') if(telInput){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); } }else { if(!telInput) { errFun(oErr, errTxt); }else { $('.getcheckcode').addClass('dis'); } return false; } } return true; } function errFun(obj,msg) { obj.html(msg); if(msg==''){ $('.login_submit').removeClass('dis'); }else { $('.login_submit').addClass('dis'); } } function validateFun(pat,val) { return pat.test(val); }