從一個(gè)R語言案例學(xué)線性回歸

數(shù)據(jù)分析師用r語言做數(shù)據(jù)分析的時(shí)候會很多，也有很多數(shù)據(jù)分析師對于用r語言不是很了解，下面就談?wù)撘幌拢?

線性回歸簡介：如下圖所示，如果把自變量（也叫independent variable）和因變量（也叫dependent variable）畫在二維坐標(biāo)上，則每條記錄對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。線性回規(guī)最常見的應(yīng)用場景則是用一條直線去擬和已知的點(diǎn)，并對給定的x值預(yù)測其y值。而我們要做的就是找出一條合適的曲線，也就是找出合適的斜率及縱截矩。

SSE & RMSE

上圖中的SSE指sum of squared error，也即預(yù)測值與實(shí)際值之差的平方和，可由此判斷該模型的誤差。但使用SSE表征模型的誤差有些弊端，比如它依賴于點(diǎn)的個(gè)數(shù)，且不好定其單位。所以我們有另外一個(gè)值去稱量模型的誤差。RMSE（Root-Mean-Square Error）。

由N將其標(biāo)準(zhǔn)化，并且其單位與變量單位相同。

案例

許多研究表明，全球平均氣溫在過去幾十年中有所升高，以此引起的海平面上升和極端天氣頻現(xiàn)將會影響無數(shù)人。本文所講案例就試圖研究全球平均氣溫與一些其它因素的關(guān)系。

本例我們以1983年5月到2006年12月的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，以之后的數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)集。

數(shù)據(jù)

首先加載數(shù)據(jù)

temp <- read.csv("climate_change.csv")

數(shù)據(jù)解釋

Year 年份 M

Month 月份 T

emp 當(dāng)前周期內(nèi)的全球平均氣溫與一個(gè)參考值之差

CO2, N2O，CH4,CFC.11，CFC.12：這幾個(gè)氣體的大氣濃度 Aerosols

模型選擇

線性回歸模型保留兩部分。

"數(shù)據(jù)分析師'選擇目標(biāo)feature。我們數(shù)據(jù)中，有多個(gè)feature，但并非所有的feature都對預(yù)測有幫助，或者并非所有的feature都需要一起工作來做預(yù)測，因此我們需要篩選出最小的最能預(yù)測出接近事實(shí)的feature組合。

確定feature系數(shù)（coefficient）。feature選出來后，我們要確定每個(gè)feature對預(yù)測結(jié)果所占的權(quán)重，這個(gè)權(quán)重即為coefficient

結(jié)合實(shí)例選擇模型

初始選擇所有feature
選擇所有feature作為第一個(gè)model1，并使用summary函數(shù)算出其Adjusted R2為0.7371。

model1 <- lm(Temp ~ MEI + CO2 + CH4 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols, temp) summary(model1)

逐一去掉feature

在model1中去掉任一個(gè)feature，并記下相應(yīng)的Adjusted R2如下

本輪得到Temp ~ MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

從model2中任意去掉1個(gè)feature，并記下相應(yīng)的Adjusted R2如下

任一組合的Adjusted R2都比上一輪小，因此選擇上一輪的feature組合作為最終的模型，也即Temp ~ MEI + CO2 + N2O + CFC.11 + CFC.12 + TSI + Aerosols

由summary(model2)可算出每個(gè)feature的coefficient如下 。

線性回歸介紹

在線性回歸中，數(shù)據(jù)使用線性預(yù)測函數(shù)來建模，并且未知的模型參數(shù)也是通過數(shù)據(jù)來估計(jì)。這些模型被叫做線性模型。最常用的線性回歸建模是給定X值的y的條件均值是X的仿射函數(shù)。

線性回歸是回歸分析中第一種經(jīng)過嚴(yán)格研究并在實(shí)際應(yīng)用中廣泛使用的類型。這是因?yàn)榫€性依賴于其未知參數(shù)的模型比非線性依賴于其位置參數(shù)的模型更容易擬合，而且產(chǎn)生的估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性也更容易確定。

上面這段定義來自于維基百科。

這個(gè)錯(cuò)誤估計(jì)函數(shù)是去對x(i)的估計(jì)值與真實(shí)值y(i)差的平方和作為錯(cuò)誤估計(jì)函數(shù)，前面乘上的1/2m是為了在求導(dǎo)的時(shí)候，這個(gè)系數(shù)就不見了。至于為何選擇平方和作為錯(cuò)誤估計(jì)函數(shù)，就得從概率分布的角度來解釋了。
如何調(diào)整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法，本文會重點(diǎn)介紹梯度下降法和正規(guī)方程法。

梯度下降

在選定線性回歸模型后，只需要確定參數(shù)θ，就可以將模型用來預(yù)測。然而θ需要使得J(θ)最小。因此問題歸結(jié)為求極小值問題。
梯度下降法流程如下：

1. 首先對θ賦值，這個(gè)值可以是隨機(jī)的，也可以讓θ為一個(gè)全零向量。

2. 改變θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向進(jìn)行調(diào)整。

梯度方向由J(θ)對θ的偏導(dǎo)數(shù)確定，由于求的是極小值，因此梯度方向是偏導(dǎo)數(shù)的反方向。更新公式為為：

這種方法需要對全部的訓(xùn)練數(shù)據(jù)求得誤差后再對θ進(jìn)行更新。（α為學(xué)習(xí)速度）

正規(guī)方程（Normal Equation）數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)