定性、估算與數(shù)學(xué)建模

應(yīng)該說物理學(xué)是與數(shù)學(xué)結(jié)合最緊密的學(xué)科之一。而且在科學(xué)史上，物理學(xué)也是最早與數(shù)學(xué)相結(jié)合的學(xué)科，甚至很難說清誰對誰的貢獻(xiàn)更大；比如牛頓對微積分這種純粹數(shù)學(xué)工具的創(chuàng)立，最初也是源于物理學(xué)研究的實踐和需要。隨后才有化學(xué)、生物學(xué)及至原本歸屬社會科學(xué)的心理學(xué)等學(xué)科的逐漸精確量化。因而在人們心目中，物理學(xué)應(yīng)該是嚴(yán)密的、準(zhǔn)確的，或者說是絕對定量化的。

 但當(dāng)你閱讀了趙凱華的《定性與半定量物理學(xué)》之后，就會發(fā)現(xiàn)原來在物理學(xué)中也有諸多并非精確定量甚至僅僅是定性的東西存在。

 按照作者在序中的介紹，此書最初起源于1987至1989年的北京大學(xué)物理系課程。其時CUSPEA正盛——這是當(dāng)時中國大學(xué)生出國所要通過的一種考試，為李政道所倡導(dǎo)，是沒有托福和GRE時代中國大學(xué)生留美讀書的途徑之一，據(jù)稱當(dāng)時北大物理系有一半畢業(yè)生都要經(jīng)由此路踏上西行求學(xué)之途。而CUSPEA考試不似中國傳統(tǒng)考試，較為靈活，風(fēng)格清新，因而需要為學(xué)生補(bǔ)充大量相關(guān)知識，故有此課誕生，該書即根據(jù)當(dāng)時的講稿寫成。

 說起來這應(yīng)該算是一部教材，但筆者卻是把它當(dāng)做一部科普圖書來閱讀的，而且這是一部相當(dāng)精彩的科普圖書。一來在于它與生活的緊密相關(guān)，把那些復(fù)雜遙遠(yuǎn)的物理學(xué)知識紛紛融入到普通事例當(dāng)中，讓我們感覺到身邊原來竟有如此之多的學(xué)問和課題；二來在于它的敘述方式，不但平實質(zhì)樸，而且語言鮮活，同時幾乎所有的例證都來自于生活。

本書共分四章：“對稱性原理”、“量綱分析”、“數(shù)量級估計”和“自然界的物理學(xué)”。通過各章內(nèi)容，作者很大程度上是在教讀者如何進(jìn)行“估算”。

估算在實際生活中具有十分重要的意義。無論是前往某地的大致距離和時間，還是購物時針對不同品牌和商家的選擇，恐怕都需要我們進(jìn)行簡單的估算——而且我們平時也在有意或無意地運(yùn)用著這一方法。大家應(yīng)該都知道“費(fèi)米扔紙片”的故事：在一次原子彈實驗時，費(fèi)米迎風(fēng)扔出一把紙片，根據(jù)紙片飛舞的速度等估計數(shù)據(jù)，大致估算出了原子彈的爆炸當(dāng)量；后來科學(xué)家們進(jìn)行了詳細(xì)計算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與費(fèi)米的估算數(shù)值相當(dāng)吻合。

有些人也許會不理解：如此粗劣的估算怎么可能準(zhǔn)確無誤？難道就不會有誤差存在嗎？諸多的小誤差難道不會造成更大的誤差嗎？不錯，是會有誤差，但有時候在這里出現(xiàn)的誤差，在那里卻會為另一個誤差所彌補(bǔ)，因而諸多的“正”“負(fù)”誤差也許剛好互相抵消，使得最終結(jié)果大致準(zhǔn)確。當(dāng)然，正確使用估算方法也需要一定的思維方法和訓(xùn)練手段。

在這部著作里，作者就舉出了諸多估算的實例。從水滴大約在聚集到怎樣的程度就會從房頂?shù)温洌酵扑阏麄€宇宙的大致密度、質(zhì)量和壽命等各種參數(shù)。而其中所使用到的數(shù)學(xué)，其實并不十分復(fù)雜。

 比如有一道例題是估算地球上的山體最多能有多高。我們都知道，地球上有很多高峰，但它們不可能無限制地高下去，因為超過一定的高度，山體就會因巖石的自重而把自己壓垮。因而作者根據(jù)巖石的密度等數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，得出地球上的山峰不會超過15千米。而這一數(shù)據(jù)與我們的實測數(shù)據(jù)是相吻合的，因為目前地球上的最高峰珠穆朗瑪峰不過8844.43米，不足9千米。唐朝詩人王維曾有詩云：“黃河遠(yuǎn)上白云間，一片孤城萬仞山”，其中“仞”為中國古制單位，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，大約在4至8尺之間，我們姑取其中值6尺，則“萬仞”即為20千米，顯然比上述估算高，可見此系詩歌的夸張手法

當(dāng)初閱讀此書是因中國科學(xué)院物理所的一位博士所薦。其時筆者正在創(chuàng)作科幻小說《蚍蜉的歌唱》，要構(gòu)造一座比現(xiàn)有高樓還高10倍的大廈；其時紐約的世界貿(mào)易中心尚未被恐怖分子所毀，樓高不過400余米，筆者擔(dān)心自己所“設(shè)計”的高廈不足以支撐自重，為識者所笑。那位博士建議筆者閱讀此書，并介紹相關(guān)的估算方法，結(jié)果使筆者受益匪淺。

   在仔細(xì)重讀此書時，筆者正好同時在北京師范大學(xué)聽講《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建?！返倪x修課程——過去沒受過這一課程的正規(guī)訓(xùn)練，而現(xiàn)在學(xué)習(xí)也不僅是為了創(chuàng)作上的功利性用途，而是出于一種發(fā)自內(nèi)心的迷戀和喜歡。但聽課之后，感覺《定性與半定量物理學(xué)》中所討論的方法，事實上與數(shù)學(xué)建模的思想非常接近，從思維方法上而言實際上具有異曲同工之妙。只不過現(xiàn)在的數(shù)學(xué)建模方法，往往會輔以各種軟件支持，類似Matlab之類的數(shù)學(xué)軟件，能夠?qū)?shù)學(xué)建模的結(jié)果迅速而直觀地表達(dá)出來。