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SPSS統(tǒng)計(jì)分析案例:一元線性回歸
2017-06-22
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SPSS統(tǒng)計(jì)分析案例:一元線性回歸

一元線性回歸,顧名思義,僅有一個(gè)自變量的回歸模型,研究的是一個(gè)因素對結(jié)果的影響,可以用于預(yù)測,也經(jīng)常被稱之為簡單線性回歸分析。它的模型表達(dá)式為:

Y=a+bX+e

回歸的過程就是要確定截距a和回歸系數(shù)b的具體值,當(dāng)然前提條件是模型具備統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。


看案例:

案例數(shù)據(jù)很好理解,是常見的銷售數(shù)據(jù),反映的是某公司太陽鏡一年12個(gè)月的具體銷售情況。試分析當(dāng)廣告費(fèi)用為15萬元時(shí),預(yù)測當(dāng)月的銷售量值。

幾乎所有的回歸分析問題,首先都從一個(gè)散點(diǎn)圖開始,散點(diǎn)圖能夠快速而且直觀的看到自變量和應(yīng)變量之間是否包含線性關(guān)系,如果圖形上看不出明顯線性關(guān)系的話,后續(xù)的分析效果也不會太好。

散點(diǎn)圖菜單步驟:圖形→舊對話框→散點(diǎn)圖→簡單算點(diǎn)圖,自變量廣告費(fèi)用用作X軸,銷售量用作Y軸。

散點(diǎn)圖可以看出,增加廣告投入銷售量隨之上升,一個(gè)正相關(guān)線性關(guān)系,圖示的作用在于讓我們對預(yù)測銷售量充滿信心,接下來開始一元線性回歸。

一調(diào)出主面板

菜單欄中點(diǎn)擊【分析】→【回歸】→【線性】,彈出線性回歸主功能面板,銷售量作為因變量,廣告費(fèi)用作為自變量,散點(diǎn)圖顯示二者有較強(qiáng)的線性關(guān)系,我們將采取強(qiáng)制【輸入】的方法要求建立一元回歸模型。

二統(tǒng)計(jì)按鈕參數(shù)設(shè)置


默認(rèn)勾選回歸系數(shù)的【估算值】,要求SPSS軟件為我們輸出回歸系數(shù),也就是模型中的參數(shù)b,同時(shí)默認(rèn)勾選【模型模擬】,要求軟件幫助我們建議回歸模型是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

以上這兩個(gè)參數(shù)是線性回歸分析必選設(shè)置,不能忽略不計(jì)。在此基礎(chǔ)上,我們可以根據(jù)實(shí)際需要選擇其他參數(shù)。

本案例勾選【德賓沃森】,要求就模型殘差進(jìn)行Durbin Watson檢驗(yàn),用于判斷殘差是否獨(dú)立,作為一個(gè)基礎(chǔ)條件來判斷數(shù)據(jù)是否適合做線性回歸。

三圖按鈕參數(shù)設(shè)置

上半部分有些復(fù)雜,允許我們定制殘差的圖形,作為入門理解,此處建議直接勾選底部【直方圖】和【正態(tài)概率圖】,要求軟件輸出標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖,同樣用于判斷數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行線性回歸。

四保存按鈕參數(shù)設(shè)置

我們此處分析的目的是為了利用廣告費(fèi)用來預(yù)測銷售量,保存按鈕參數(shù)與預(yù)測和殘差有關(guān),可以勾選【未標(biāo)準(zhǔn)化】預(yù)測值。

在這個(gè)對話框上面,有許多參數(shù)可選,嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度出發(fā)的話,建議在這里深入學(xué)習(xí),本例暫時(shí)不討論。

五選項(xiàng)按鈕參數(shù)設(shè)置

這里建議接受軟件默認(rèn)選項(xiàng)即可。

主要參數(shù)基本設(shè)置完成,現(xiàn)在點(diǎn)擊主面板下方的【確定】按鈕,要求SPSS開始執(zhí)行此次簡單線性回歸分析過程,我們坐等結(jié)果。

六主要結(jié)果解釋

1、模型摘要表

第三列R方,在線性回歸中也稱為判定系數(shù),用于判定線性方程擬合優(yōu)度的重要指標(biāo),體現(xiàn)了回歸模型解釋因變量變異的能力,通常認(rèn)為R方需達(dá)到60%,最好是80%以上,當(dāng)然是接近1更好。

本例R方=0.93,初步判斷模型擬合效果良好。

2、方差分析表

剛才我們建立的回歸模型是不是有統(tǒng)計(jì)意義,增加廣告費(fèi)用可銷售量這樣的線性關(guān)系是否顯著,方差分析表可以回答這些問題。

直接讀取最后一列,顯著性值=0.000<0.01<0.05,表明由自變量“廣告費(fèi)用”和因變量“銷售量”建立的線性關(guān)系回歸模型具有極顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3、回歸系數(shù)表

這是有關(guān)此處建模的最直接結(jié)果,讀取未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù),我們可以輕松寫出模型表達(dá)式,如下:

Y=76.407+7.662X

關(guān)鍵的是,自變量廣告費(fèi)用的回歸系數(shù)通過檢驗(yàn),t檢驗(yàn)原假設(shè)回歸系數(shù)沒有意義,由最后一列回歸系數(shù)顯著性值=0.000<0.01<0.05,表明回歸系數(shù)b存在,有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,廣告費(fèi)用與銷售量之間是正比關(guān)系,而且極顯著。

OK,現(xiàn)在我們有了回歸模型表達(dá)式在手里,心里總會油然沉甸甸的,因?yàn)榫瓦B小學(xué)生都知道,只要把廣告費(fèi)用的具體值帶入回歸方程式中,就可以輕松計(jì)算出對應(yīng)的銷售量數(shù)據(jù)。

不急,在開始預(yù)測前還有一項(xiàng)關(guān)鍵操作,我們需要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否可以做回歸分析,它對數(shù)據(jù)的要求是苛刻的,有必要就殘差進(jìn)行分析。

七適用性檢驗(yàn)

1、殘差正態(tài)性檢驗(yàn)

從標(biāo)準(zhǔn)化殘差直方圖來看,呈一個(gè)倒扣的鐘形,左右兩側(cè)不完全對稱,有一定瑕疵;從標(biāo)準(zhǔn)化殘差的P-P圖來看,散點(diǎn)并沒有全部靠近斜線,并不完美,綜合而言,殘差正態(tài)性結(jié)果不是最好的,當(dāng)然在現(xiàn)實(shí)分析當(dāng)中,理想狀態(tài)的正態(tài)并不多見,接近或近似即可考慮接受。

2、模型殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)

采用Durbin Watson檢驗(yàn)來判斷,回過頭來再看模型摘要表。

DW=1.464,查詢 Durbin Watson table 可以發(fā)現(xiàn)本例DW值恰好出在無自相關(guān)性的值域之中,認(rèn)定殘差獨(dú)立,通過檢驗(yàn)。

實(shí)際上關(guān)于回歸模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)還有其他項(xiàng)目,比如異常點(diǎn)、共線性等檢驗(yàn)項(xiàng)目,本例暫不展開,有興趣的讀者可以自行學(xué)習(xí)。

根據(jù)以上殘差正態(tài)性和殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果,本例認(rèn)為案例數(shù)據(jù)基本滿足線性回歸要求(值得在其他應(yīng)用中討論,本例僅展示主要過程),所建立的模型可根據(jù)擬合質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測。

八預(yù)測

通過前面的一系列分析和論證,我們現(xiàn)在已經(jīng)得到回歸模型的方程式:Y=76.407+7.662X,

我們的預(yù)測任務(wù)是當(dāng)廣告投入達(dá)15萬元時(shí),太陽鏡的銷售量,具體計(jì)算:Y=76.407+7.662*15=191.337,

至此,建立了廣告和銷售量之間的線性回歸模型,并且實(shí)施了預(yù)測,那么模型的準(zhǔn)確性到底如何呢,有待最終實(shí)際銷售比對分析。本例結(jié)束。


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