SPSS統(tǒng)計(jì)分析案例:一元線性回歸

一元線性回歸，顧名思義，僅有一個(gè)自變量的回歸模型，研究的是一個(gè)因素對結(jié)果的影響，可以用于預(yù)測，也經(jīng)常被稱之為簡單線性回歸分析。它的模型表達(dá)式為：

Y=a+bX+e

回歸的過程就是要確定截距a和回歸系數(shù)b的具體值，當(dāng)然前提條件是模型具備統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

看案例：

案例數(shù)據(jù)很好理解，是常見的銷售數(shù)據(jù)，反映的是某公司太陽鏡一年12個(gè)月的具體銷售情況。試分析當(dāng)廣告費(fèi)用為15萬元時(shí)，預(yù)測當(dāng)月的銷售量值。

幾乎所有的回歸分析問題，首先都從一個(gè)散點(diǎn)圖開始，散點(diǎn)圖能夠快速而且直觀的看到自變量和應(yīng)變量之間是否包含線性關(guān)系，如果圖形上看不出明顯線性關(guān)系的話，后續(xù)的分析效果也不會太好。

散點(diǎn)圖菜單步驟：圖形→舊對話框→散點(diǎn)圖→簡單算點(diǎn)圖，自變量廣告費(fèi)用用作X軸，銷售量用作Y軸。

由散點(diǎn)圖可以看出，增加廣告投入銷售量隨之上升，一個(gè)正相關(guān)線性關(guān)系，圖示的作用在于讓我們對預(yù)測銷售量充滿信心，接下來開始一元線性回歸。

一調(diào)出主面板

菜單欄中點(diǎn)擊【分析】→【回歸】→【線性】，彈出線性回歸主功能面板，銷售量作為因變量，廣告費(fèi)用作為自變量，散點(diǎn)圖顯示二者有較強(qiáng)的線性關(guān)系，我們將采取強(qiáng)制【輸入】的方法要求建立一元回歸模型。

二統(tǒng)計(jì)按鈕參數(shù)設(shè)置

默認(rèn)勾選回歸系數(shù)的【估算值】，要求SPSS軟件為我們輸出回歸系數(shù)，也就是模型中的參數(shù)b，同時(shí)默認(rèn)勾選【模型模擬】，要求軟件幫助我們建議回歸模型是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

以上這兩個(gè)參數(shù)是線性回歸分析必選設(shè)置，不能忽略不計(jì)。在此基礎(chǔ)上，我們可以根據(jù)實(shí)際需要選擇其他參數(shù)。

本案例勾選【德賓沃森】，要求就模型殘差進(jìn)行Durbin Watson檢驗(yàn)，用于判斷殘差是否獨(dú)立，作為一個(gè)基礎(chǔ)條件來判斷數(shù)據(jù)是否適合做線性回歸。

三圖按鈕參數(shù)設(shè)置

上半部分有些復(fù)雜，允許我們定制殘差的圖形，作為入門理解，此處建議直接勾選底部【直方圖】和【正態(tài)概率圖】，要求軟件輸出標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖，同樣用于判斷數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行線性回歸。

四保存按鈕參數(shù)設(shè)置

我們此處分析的目的是為了利用廣告費(fèi)用來預(yù)測銷售量，保存按鈕參數(shù)與預(yù)測和殘差有關(guān)，可以勾選【未標(biāo)準(zhǔn)化】預(yù)測值。

在這個(gè)對話框上面，有許多參數(shù)可選，嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度出發(fā)的話，建議在這里深入學(xué)習(xí)，本例暫時(shí)不討論。

五選項(xiàng)按鈕參數(shù)設(shè)置

這里建議接受軟件默認(rèn)選項(xiàng)即可。

主要參數(shù)基本設(shè)置完成，現(xiàn)在點(diǎn)擊主面板下方的【確定】按鈕，要求SPSS開始執(zhí)行此次簡單線性回歸分析過程，我們坐等結(jié)果。

六主要結(jié)果解釋

1、模型摘要表

第三列R方，在線性回歸中也稱為判定系數(shù)，用于判定線性方程擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)，體現(xiàn)了回歸模型解釋因變量變異的能力，通常認(rèn)為R方需達(dá)到60%，最好是80%以上，當(dāng)然是接近1更好。

本例R方=0.93，初步判斷模型擬合效果良好。

2、方差分析表

剛才我們建立的回歸模型是不是有統(tǒng)計(jì)意義，增加廣告費(fèi)用可銷售量這樣的線性關(guān)系是否顯著，方差分析表可以回答這些問題。

直接讀取最后一列，顯著性值=0.000<0.01<0.05，表明由自變量“廣告費(fèi)用”和因變量“銷售量”建立的線性關(guān)系回歸模型具有極顯著的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3、回歸系數(shù)表

這是有關(guān)此處建模的最直接結(jié)果，讀取未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)，我們可以輕松寫出模型表達(dá)式，如下：

Y=76.407+7.662X

關(guān)鍵的是，自變量廣告費(fèi)用的回歸系數(shù)通過檢驗(yàn)，t檢驗(yàn)原假設(shè)回歸系數(shù)沒有意義，由最后一列回歸系數(shù)顯著性值=0.000<0.01<0.05，表明回歸系數(shù)b存在，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，廣告費(fèi)用與銷售量之間是正比關(guān)系，而且極顯著。

OK，現(xiàn)在我們有了回歸模型表達(dá)式在手里，心里總會油然沉甸甸的，因?yàn)榫瓦B小學(xué)生都知道，只要把廣告費(fèi)用的具體值帶入回歸方程式中，就可以輕松計(jì)算出對應(yīng)的銷售量數(shù)據(jù)。

不急，在開始預(yù)測前還有一項(xiàng)關(guān)鍵操作，我們需要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否可以做回歸分析，它對數(shù)據(jù)的要求是苛刻的，有必要就殘差進(jìn)行分析。

七適用性檢驗(yàn)

1、殘差正態(tài)性檢驗(yàn)

從標(biāo)準(zhǔn)化殘差直方圖來看，呈一個(gè)倒扣的鐘形，左右兩側(cè)不完全對稱，有一定瑕疵；從標(biāo)準(zhǔn)化殘差的P-P圖來看，散點(diǎn)并沒有全部靠近斜線，并不完美，綜合而言，殘差正態(tài)性結(jié)果不是最好的，當(dāng)然在現(xiàn)實(shí)分析當(dāng)中，理想狀態(tài)的正態(tài)并不多見，接近或近似即可考慮接受。

2、模型殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)

采用Durbin Watson檢驗(yàn)來判斷，回過頭來再看模型摘要表。

DW=1.464，查詢 Durbin Watson table 可以發(fā)現(xiàn)本例DW值恰好出在無自相關(guān)性的值域之中，認(rèn)定殘差獨(dú)立，通過檢驗(yàn)。

實(shí)際上關(guān)于回歸模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)還有其他項(xiàng)目，比如異常點(diǎn)、共線性等檢驗(yàn)項(xiàng)目，本例暫不展開，有興趣的讀者可以自行學(xué)習(xí)。

根據(jù)以上殘差正態(tài)性和殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果，本例認(rèn)為案例數(shù)據(jù)基本滿足線性回歸要求（值得在其他應(yīng)用中討論，本例僅展示主要過程），所建立的模型可根據(jù)擬合質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測。

八預(yù)測

通過前面的一系列分析和論證，我們現(xiàn)在已經(jīng)得到回歸模型的方程式：Y=76.407+7.662X，

我們的預(yù)測任務(wù)是當(dāng)廣告投入達(dá)15萬元時(shí)，太陽鏡的銷售量，具體計(jì)算：Y=76.407+7.662*15=191.337，

至此，建立了廣告和銷售量之間的線性回歸模型，并且實(shí)施了預(yù)測，那么模型的準(zhǔn)確性到底如何呢，有待最終實(shí)際銷售比對分析。本例結(jié)束。