SPSS教程:做多重線性回歸,方差不齊怎么辦

一、殘差方差齊性判斷

1. 殘差方差齊性

回顧一下前面介紹過的殘差方差齊性，即殘差ei的大小不隨預(yù)測值水平的變化而變化。我們在進(jìn)行殘差分析時(shí)，可以通過繪制標(biāo)準(zhǔn)化殘差和標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的散點(diǎn)圖來進(jìn)行判斷。若殘差滿足方差齊性，則標(biāo)準(zhǔn)化殘差的散點(diǎn)會在一定區(qū)域內(nèi)，圍繞標(biāo)準(zhǔn)化殘差ei=0這條直線的上下兩側(cè)均勻分布，不隨標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的變化而變化，如圖1所示。

圖1. 標(biāo)準(zhǔn)化殘差散點(diǎn)圖（方差齊性）

2. 殘差方差不齊

但有時(shí)殘差不滿足方差齊性的假設(shè)，其標(biāo)準(zhǔn)化殘差散點(diǎn)圖顯示，殘差的變異程度隨著變量取值水平的變化而發(fā)生變化，如圖2(a)顯示標(biāo)準(zhǔn)化殘差的分布隨變量取值的增大而呈現(xiàn)擴(kuò)散趨勢，圖2(b)顯示標(biāo)準(zhǔn)化殘差的分布隨變量取值的增大而呈現(xiàn)收斂趨勢，說明殘差不滿足方差齊性的條件。

圖2. 標(biāo)準(zhǔn)化殘差散點(diǎn)圖（方差不齊）

二、加權(quán)最小二乘法

在多重線性回歸模型中，我們采用的是普通最小二乘法（Ordinary Least Square，OLS）來對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，即要求每個(gè)觀測點(diǎn)的實(shí)際值與預(yù)測值之間的殘差平方和最小，對于模型中的每個(gè)觀測點(diǎn)是同等看待的，殘差滿足方差齊性的假設(shè)。

但是在有些研究問題中，例如調(diào)查某種疾病的發(fā)病率，以地區(qū)為觀測單位，很顯然地區(qū)人數(shù)越多，所得到的率就越穩(wěn)定，變異程度越小，而地區(qū)人數(shù)越少，所得到的率的變異就越大。在這種情況下，因變量的變異程度會隨著自身數(shù)值或其他變量的變化而變化，殘差不滿足方差齊性的條件。此時(shí)如果繼續(xù)采用OLS方法進(jìn)行模型估計(jì)，則擬合結(jié)果就會受到變異程度較大的數(shù)據(jù)的影響，在這種情況下構(gòu)建的回歸模型就會發(fā)生偏差，預(yù)測精度降低，甚至預(yù)測功能失效。

為了解決這一問題，我們可以采用加權(quán)最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）的方法來進(jìn)行模型估計(jì)，即在模型擬合時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)變異程度的大小賦予不同的權(quán)重，對于變異程度較小、測量更精確的數(shù)據(jù)賦予較大的權(quán)重，對于變異程度較大、測量不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)賦予較小的權(quán)重，從而使得加權(quán)后回歸直線的殘差平方和最小，保證擬合的模型具有更好的預(yù)測價(jià)值。

三、SPSS操作

1. 研究問題

某研究人員擬研究PM2.5濃度與癌癥發(fā)病率之間的關(guān)聯(lián)性，以地區(qū)為觀測單位，收集了40個(gè)地區(qū)的癌癥發(fā)病率（/10萬），PM2.5年平均濃度（μg/m3），人口數(shù)量（萬），地區(qū)來源（0=農(nóng)村，1=城市）等信息。（注：數(shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)，不代表真實(shí)情況）

2. 判斷殘差是否滿足方差齊性

參考多重線性回歸的SPSS操作步驟，結(jié)果顯示采用普通最小二乘法方法擬合的線性回歸模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P<0.001），決定系數(shù)R Square為0.798，PM2.5平均濃度、不同地區(qū)來源（District）和不同人口數(shù)量對癌癥發(fā)病率的影響有統(tǒng)計(jì)學(xué)顯著性（P<0.05）。

殘差散點(diǎn)圖顯示，標(biāo)準(zhǔn)化殘差的變異程度會隨著標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的增大而增大，呈現(xiàn)擴(kuò)散趨勢，表明殘差不滿足方差齊性的假設(shè)。

3. 權(quán)重估計(jì)

根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)判斷，人口數(shù)量（Population）可能為導(dǎo)致殘差不滿足方差齊性的一個(gè)重要因素，下面對人口數(shù)量進(jìn)行權(quán)重估計(jì)。

(1)選擇Analyze → Regression → Weight Estimation，在Weight Estimation對話框中，將Cancer選入Dependent，將District和PM2.5選入Independent(s)中。

(2)將擬加權(quán)的變量Population選入Weight Variable中，系統(tǒng)將按照1/（權(quán)重變量）的power次冪對每條記錄進(jìn)行加權(quán)。

(3)Power range用于定義權(quán)重變量的指數(shù)，默認(rèn)為-2~2，步長為0.5，即將擬合指數(shù)分為-2、-1.5、-1、-0.5、0、0.5、1、1.5和2一共構(gòu)建9個(gè)方程中，并從中選取效果最佳的一個(gè)擬合指數(shù)。本例中標(biāo)準(zhǔn)化殘差隨著標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的增大而增大，因此Power range為正值，此處設(shè)定Power range的范圍為0~5，步長為0.5。

(4)點(diǎn)擊Option，選擇Save best weight as new variable，生成一個(gè)新的變量用以保存效果最佳的權(quán)重。最后點(diǎn)擊Continue回到Weight Estimation主對話框，點(diǎn)擊OK完成操作。

(5)結(jié)果匯總

Log-Likelihood Values表中輸出了在給定步長下每個(gè)指數(shù)值對應(yīng)的對數(shù)似然值，選取對數(shù)似然值最大的一項(xiàng)為最優(yōu)指數(shù)，因此本例中最終確定的最優(yōu)指數(shù)值為3，即權(quán)重按照1/population3的函數(shù)關(guān)系來計(jì)算權(quán)重。同時(shí)系統(tǒng)會在確定最優(yōu)指數(shù)的情況下，自動生成一個(gè)名為WGT_1的變量用于保存權(quán)重系數(shù)。

4. 最小二乘法操作

(1)選擇Analyze → Regression → Linear，在Linear Regression對話框中，將Cancer選入Dependent，將District、PM2.5、Population選入Independent(s)中，將新生成的變量Weight for Cancer from WLS（WGT_1）選入WLS Weight中。

(2)點(diǎn)擊Save選項(xiàng)，在Predicted Values和Residuals框下均選擇Unstandardized。最后點(diǎn)擊Continue回到Linear Regression主對話框，點(diǎn)擊OK完成操作。

(3)繪制殘差散點(diǎn)圖

由于在SPSS中使用WLS模型無法直接繪制加權(quán)殘差散點(diǎn)圖，SPSS會給出相應(yīng)的警示（如下圖所示），因此我們需要按照SPSS提示中提供的計(jì)算公式，對加權(quán)預(yù)測值和加權(quán)殘差值進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換，然后再繪制轉(zhuǎn)換后的加權(quán)殘差散點(diǎn)圖。

選擇Transform → Compute Variable，利用前幾步操作生成的權(quán)重值（WGT_1）、加權(quán)預(yù)測值（PRE_1）和加權(quán)殘差值（RES_1）來計(jì)算生成兩個(gè)新變量，即轉(zhuǎn)換的加權(quán)預(yù)測值wgtpred = PRE_1 * sqrt（WGT_1）和轉(zhuǎn)換的加權(quán)殘差值wgtresid = RES_1 * sqrt（WGT_1）。

然后選擇Graphs → Legacy Dialogs → Scatter/Dot → Simple Scatter，將wtgpred選入X Axis，將wtgresid選入Y Axis，點(diǎn)擊OK繪制散點(diǎn)圖。

5. 結(jié)果匯總

(1)結(jié)果顯示，采用加權(quán)最小二乘法擬合的線性回歸模型仍具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P<0.001），決定系數(shù)R Square為0.779。由于決定系數(shù)計(jì)算方法本身的問題，在加權(quán)線性回歸里會出現(xiàn)一定的偏差，導(dǎo)致加權(quán)方法計(jì)算得到的R2往往要小于普通最小二乘法的R2，但這并不代表加權(quán)的模型比普通模型的擬合效果差，兩者不能簡單相比。

(2)模型結(jié)果顯示，PM2.5平均濃度、不同地區(qū)來源（District）和不同人口數(shù)對癌癥發(fā)病率的影響有統(tǒng)計(jì)學(xué)顯著性（P<0.05），且偏回歸系數(shù)較普通最小二乘法更為穩(wěn)健。

(3)轉(zhuǎn)換后的加權(quán)殘差散點(diǎn)圖顯示，殘差的散點(diǎn)圍繞ei=0這條直線的上下兩側(cè)均勻分布，不隨預(yù)測值的變化而變化，說明經(jīng)過加權(quán)校正后，殘差已滿足方差齊性的條件，達(dá)到了加權(quán)校正的目的。