R語言解讀資本資產(chǎn)定價(jià)模型CAPM

伴隨2016年中國(guó)金融交易市場(chǎng)的跌宕起伏，風(fēng)險(xiǎn)越來越不確定，利率持續(xù)走低，理財(cái)?shù)葻o風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益持續(xù)下降的情況，唯有投資組合才能讓我們的資產(chǎn)保值、增值。根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)，通過對(duì)金融數(shù)據(jù)的分析，構(gòu)建投資組合，幫助我們?cè)谟行У氖袌?chǎng)中控制風(fēng)險(xiǎn)、穩(wěn)定收益。

本文將深入淺出地介紹資本資產(chǎn)定價(jià)模型，從理論到建模，再到程序現(xiàn)實(shí)。資本資產(chǎn)定價(jià)模型反應(yīng)的是資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與期望收益之間的關(guān)系，風(fēng)險(xiǎn)越高，收益越高。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)一樣時(shí)，投資者會(huì)選擇預(yù)期收益最高的資產(chǎn)；而預(yù)期收益一樣時(shí)，投資者會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最低的資產(chǎn)。

由于本文為非金融教材類文章，所以當(dāng)出現(xiàn)與教課書不符的描述，請(qǐng)以教課書為準(zhǔn)。本文力求用簡(jiǎn)化的語言，來介紹自資本資產(chǎn)定價(jià)模型的知識(shí)，同時(shí)配合R語言的實(shí)現(xiàn)。

目錄

故事背景

資本市場(chǎng)線

資本資產(chǎn)定價(jià)模型

用R構(gòu)建投資組合模型

Beta VS Alpha

1. 故事背景

1952年，馬科維茨(Markowitz)提出了投資組合選擇理論，他認(rèn)為最佳投資組合應(yīng)當(dāng)是，風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征的投資者的無差異曲線和資產(chǎn)的有效邊界線的交點(diǎn)。投資者在選擇資產(chǎn)時(shí)會(huì)在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間做出平衡：當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)一樣時(shí)，會(huì)選擇預(yù)期收益最高的資產(chǎn)；而預(yù)期收益一樣時(shí)，會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最低的資產(chǎn)。

圖1 投資組合選擇示意圖

到1964年，威廉-夏普(William Sharp)，約翰-林特納(John Lintner)與簡(jiǎn)-莫森(Jan Mossin)則在馬科維茨基礎(chǔ)上提出的單指數(shù)模型，將市場(chǎng)組合引入均值-方差模型，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，他們認(rèn)為獲得了市場(chǎng)任意資組合的收益與某個(gè)共同因素之間是有線性關(guān)系，最終將其發(fā)展為資本資產(chǎn)定價(jià)模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)。從馬科維茨的投資組合選擇理論，發(fā)展到資本資產(chǎn)定價(jià)模型經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。

簡(jiǎn)單一句話概括，資本資產(chǎn)定價(jià)模型的核心思想，資產(chǎn)價(jià)格取決于其獲得的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格補(bǔ)償。

假設(shè)條件

資本資產(chǎn)定價(jià)模型，是基于一系列假設(shè)條件而成立的。但這些條件，可能并不符合現(xiàn)實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)，資本資產(chǎn)定價(jià)模型也一度遭到質(zhì)疑。

資產(chǎn)可以無限分割。

不存在交易成本和個(gè)人所得稅。

可以無限賣空。

存在一種無風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者在此利率水平下，可以無限制地貸出和借入任意數(shù)額的資金。

投資者是價(jià)格接受者，市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的。

投資者是理智的，通過比較資產(chǎn)的期望收益和方差來作出投資決策，在相同預(yù)期收益下會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的資產(chǎn)。

投資者在相同的投資期限出作出決策，而市場(chǎng)信息是公開免費(fèi)的，并可以及時(shí)獲得。

投資者對(duì)市場(chǎng)中的經(jīng)濟(jì)變量有相同的預(yù)期，他們對(duì)任意資產(chǎn)的預(yù)期收益率、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的看法是一致的。

資本資產(chǎn)定價(jià)模型的核心假設(shè)是認(rèn)為市場(chǎng)滿足完全、無摩擦和信息完會(huì)對(duì)稱的條件，市場(chǎng)中的投資人都是Markowitz理論中的理性經(jīng)濟(jì)人。

2. 資本市場(chǎng)線

由于涉及到金融專業(yè)領(lǐng)域，有幾個(gè)概念是我們應(yīng)該提前知道的。

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是指具有未來收益能力的資產(chǎn)，但收益率不確定且可能招致?lián)p失，比如股票、債券等。

無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：沒有任何風(fēng)險(xiǎn)或者風(fēng)險(xiǎn)非常小的資產(chǎn)，有確定的收益率，并且不存在違約的風(fēng)險(xiǎn)。

收益率：指從投資開始到投資結(jié)束時(shí)，所獲得的投資回報(bào)率。

無風(fēng)險(xiǎn)收益率：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，所產(chǎn)生的投資回報(bào)率。

投資組合：由投資人或金融機(jī)構(gòu)所持有的股票、債券、基金、衍生金融產(chǎn)品等組成的集合，目的在于分散風(fēng)險(xiǎn)。

杠桿交易：就是利用小資金來進(jìn)行數(shù)倍于原始金額的投資，以期望獲取相對(duì)投資標(biāo)的物波動(dòng)的數(shù)倍收益率的盈利或虧損

2.1 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來說，我們可以用預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)，通過二維的坐標(biāo)來進(jìn)行描述。

對(duì)上圖的解釋：

X軸，為風(fēng)險(xiǎn)

y軸，為收益率

灰色區(qū)域，為金融資產(chǎn)可投資區(qū)域

黑色線，為有效投資邊界

A和B點(diǎn)，為2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

A和B有相同的x值，表示具有相同的風(fēng)險(xiǎn)。B點(diǎn)在A點(diǎn)上面，表示B的收益率高于A。對(duì)于理性的投資者來說，如果只在A點(diǎn)和B點(diǎn)之間做投資選擇，那么大家都會(huì)投資到B點(diǎn)，而不投資于A點(diǎn)。

2.2 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

在下圖中，我們加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，來比較無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的關(guān)系。

對(duì)上圖的解釋：

B點(diǎn)，為1個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在有效投資邊界上

C點(diǎn)，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在y軸上

X軸，為風(fēng)險(xiǎn)

y軸，為收益率

灰色區(qū)域，金融資產(chǎn)為可投資區(qū)域

黑色線，為有效投資邊界

C點(diǎn)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，他的位置在圖示的y軸上，這時(shí)x為0，即風(fēng)險(xiǎn)為0。我們可以把投資，分配到C點(diǎn)或B點(diǎn)上。如果都投到C點(diǎn)，那么我們將獲得的是R0部分的無風(fēng)險(xiǎn)收益；如果都投到B點(diǎn)，那么我們需要承擔(dān)σB的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)獲得RB的風(fēng)險(xiǎn)收益。如果我們把資金，一部分投資到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，另一部分投資到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，那么將構(gòu)成一個(gè)由B和C資產(chǎn)組成的投資組合，而且風(fēng)險(xiǎn)和收益部分，將體現(xiàn)在B和C的連線上。

2.3 最優(yōu)組合

那么，有沒有最優(yōu)的投資組合呢？收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小。下面就讓我們來，發(fā)現(xiàn)這個(gè)最優(yōu)的組合M。

對(duì)上圖的解釋：

M點(diǎn)，為最優(yōu)組合的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

B點(diǎn)，為1個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在有效投資邊界上

C點(diǎn)，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在y軸上

X軸，為風(fēng)險(xiǎn)

y軸，為收益率

灰色區(qū)域，金融資產(chǎn)為可投資區(qū)域

黑色線，為有效投資邊界

假設(shè)有最優(yōu)的組合，在上圖中M點(diǎn)處，當(dāng)我們把C和M進(jìn)行連線，使得CM的連線與灰色區(qū)域相切。從圖上看，CM的連線會(huì)比任意的C與可投資區(qū)域點(diǎn)的連線斜率都要大，比如C和B的連線。我們?nèi)B的連線的延長(zhǎng)線，在CB的延長(zhǎng)線上找到，與M具有相同x的點(diǎn)B’，這時(shí)M與B’風(fēng)險(xiǎn)相同，M點(diǎn)在B’點(diǎn)的上面，所以M點(diǎn)的收益率大。也就是說，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)相同的時(shí)候，我們都會(huì)選擇收益率最大的資產(chǎn)。

不論從可投資區(qū)域中怎么選取，M點(diǎn)都是斜率最大的點(diǎn)，那么我們可以認(rèn)為，M點(diǎn)為市場(chǎng)上各資產(chǎn)的最優(yōu)的投資組合.

對(duì)于最優(yōu)的投資組合，其實(shí)不管投資者的收益風(fēng)險(xiǎn)的偏好是什么樣子的，只要找到了最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，再加上無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，就可以為投資者獲得最佳的投資方案了。那么對(duì)于理性的投資者，如果發(fā)現(xiàn)了最優(yōu)的組合，他們只會(huì)投資于這個(gè)組合，這時(shí)與收益和風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。

M點(diǎn)構(gòu)建的投資組合，一般是由所有可投資證券產(chǎn)品組成的，每種證券資產(chǎn)構(gòu)成的比例，為證券的相對(duì)市值。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)C，并沒有包括在M中，人們都會(huì)選擇CM的連接線進(jìn)行投資，來構(gòu)建最優(yōu)的投資組合。

在實(shí)際的市場(chǎng)交易中，金融資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)發(fā)生偏離，因?yàn)閮r(jià)格受市場(chǎng)的供需關(guān)系所影響，當(dāng)價(jià)格發(fā)生偏離后，市場(chǎng)會(huì)自動(dòng)修復(fù)會(huì)回均衡價(jià)格水平。

2.4 資本市場(chǎng)線

對(duì)于CM的連線，就是馬科維茨提出了投資組合選擇理論，風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征的投資者的無差異曲線和資產(chǎn)的有效邊界線的交點(diǎn)。這條線就叫，資本市場(chǎng)線(Capital Market Line)。

資本市場(chǎng)線是指表明有效組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差之間的一種簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。

資本市場(chǎng)線決定了證券的價(jià)格。因?yàn)橘Y本市場(chǎng)線是證券有效組合條件下的風(fēng)險(xiǎn)與收益的均衡，如果脫離了這一均衡，則就會(huì)在資本市場(chǎng)線之外，形成另一種風(fēng)險(xiǎn)與收益的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.5 投資組合構(gòu)建

資本市場(chǎng)線，就是我們最優(yōu)的投資組合，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)投資組合，所有資金都會(huì)投到這個(gè)組合上。通過對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)C和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)M分配不同的投資權(quán)重，我們可以自己配置出自己想要的風(fēng)險(xiǎn)和收益來，同時(shí)可以利用金融工具來加杠桿放大風(fēng)險(xiǎn)和收益的范圍。

如果我們把投資者分成，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型和風(fēng)險(xiǎn)激進(jìn)型。

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，他們對(duì)于資金安全有非常高的要求，不追求高收益但求本金安全，這些資金通常都是用來生活的。那么在為這些資金做資產(chǎn)配置方案的時(shí)候，可以把一部分資金配置無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，同時(shí)少量資金配置到M點(diǎn)的最優(yōu)組合上，保證低風(fēng)險(xiǎn)并獲得少量收益。

如圖中CM1點(diǎn)，如果配置50%的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)M和50%的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)C，來實(shí)現(xiàn)投資組合。公式如下：

CM1 = 0.5C + 0.5M

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)激進(jìn)型，他們對(duì)于資金有非常高的收益要求，本金可以部分或全部損失，這些資金通常都是“閑錢”，就是用來進(jìn)行投資活動(dòng)的。那么在為這些資金做資配置方案時(shí)，可以全部都投到M上，再激進(jìn)點(diǎn)，可以通過借錢、融資的方式，增加杠桿，把資金放大進(jìn)行投資。這種操作風(fēng)險(xiǎn)會(huì)隨著杠桿的放大劇增，當(dāng)然同時(shí)你也會(huì)有更大的收益。

如圖中CM2點(diǎn)，落在了CM的延長(zhǎng)線上。我們可以配置150%的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)M，同時(shí)用50%的錢去抵押以無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)C的收益率去借錢。公式如下：

CM2 = -0.5C + 1.5M

2.6 風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系

上面我們描述風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系，主要是從思路上定性介紹，沒有進(jìn)行定量描述，那么究竟風(fēng)險(xiǎn)和收益從數(shù)學(xué)上怎么進(jìn)行定義呢。

對(duì)上圖的解釋：

M點(diǎn)，為最優(yōu)組合的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

C點(diǎn)，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在y軸上

r0，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率

rM，為M點(diǎn)的收益率

x軸，σp為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率的方差

y軸，rp為收益率

根據(jù)威廉-夏普所引入的均值-方差模型，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，就是解決了公式計(jì)算的問題。用方差來刻畫風(fēng)險(xiǎn)，建立收益和風(fēng)險(xiǎn)的一元線性關(guān)系。可以用下面公式來表示：

公式

E(rm) – r0 = A * σM^2

公式解釋：

E(rm)：市場(chǎng)投資組合的預(yù)期收益率

r0：無風(fēng)險(xiǎn)收益率

E(rm)–r0, 市場(chǎng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

σM^2: 市場(chǎng)投資組合方差Var(rM)

A：風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平

有了公式，我們就明確的知道了，風(fēng)險(xiǎn)和收益的定量關(guān)系，并且可以利用數(shù)據(jù)來進(jìn)行計(jì)算。

3. 資本資產(chǎn)定價(jià)模型

對(duì)于市場(chǎng)的投資組合，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和市場(chǎng)投資組合的方差成線性關(guān)系。但對(duì)于單個(gè)資產(chǎn)來說，收益和風(fēng)險(xiǎn)是市場(chǎng)投資組合組成的一分部，受市場(chǎng)共同變化的影響。

3.1 單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

對(duì)于單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)來說，在資本資產(chǎn)定價(jià)模型中，用β來進(jìn)行表示。β是衡量單個(gè)金融資產(chǎn)與市場(chǎng)收益的共同變化程度，通過協(xié)方差來計(jì)算。單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)為，當(dāng)前資產(chǎn)與投資組合收益率的協(xié)議差，除以投資組合收益率的方差。

單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算公式：

βi = Cov(ri, rm) / Var(rm)
   = Cov(ri, rm) /  σm^2

單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的計(jì)算公式：

E(ri) – rf = （Cov(ri, rm) / σm^2）*[E(rm) – rf]
           =  βi  *  [E(rm) – rf]

對(duì)公式的解釋：

E(ri)，為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的預(yù)期收益

E(rm)，為市場(chǎng)投資組合的預(yù)期收益

rf，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益

Cov(ri, rm)，為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率和市場(chǎng)投資組合收益率的協(xié)議差

Var(rm)，為市場(chǎng)投資組合的收益率的方差

從公式可以看出，單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)與市場(chǎng)投資組合M的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比，受β影響。

3.2 資本資產(chǎn)定價(jià)模型

資本資產(chǎn)定價(jià)模型，是現(xiàn)化金融學(xué)中的基石理論。在上述假設(shè)條件下，可以推到出資本資產(chǎn)定價(jià)模型的具體公式。整個(gè)和推到過程，就是上面文章介紹的過程，從后人學(xué)習(xí)的角度看，這個(gè)理論比較簡(jiǎn)單的，僅用到了簡(jiǎn)單地統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，但是前人卻花了很長(zhǎng)的時(shí)間研究和探索。

判斷單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，當(dāng)β=1時(shí)，則說明當(dāng)前資產(chǎn)與整個(gè)市場(chǎng)的趨勢(shì)是完全保持一致的；當(dāng)β為2時(shí)，代表高風(fēng)險(xiǎn)，其回報(bào)的變化將大于市場(chǎng)大盤的變化幅度；當(dāng)β為0.5時(shí)，代表是低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)配置。

3.3 2種風(fēng)險(xiǎn)

在資本資產(chǎn)定價(jià)模型，定義了2種風(fēng)險(xiǎn)，即系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，就是由外部因素引起的風(fēng)險(xiǎn)，比如：通貨膨脹，GDP，重大政治事件等等。這一類事件對(duì)于資產(chǎn)收益率的影響不能通過組合本身來消除的，所以這一類風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于投資者來說是無法回避的。

非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，就是組合內(nèi)部結(jié)構(gòu)引起的風(fēng)險(xiǎn)，比如：A股與B股高度相關(guān)，A股的收益率出現(xiàn)大幅波動(dòng)的時(shí)候，B股也會(huì)出現(xiàn)相似幅度的波動(dòng)，波峰疊加或波谷疊加，就會(huì)增加整個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)；反之，如果A與B為負(fù)相關(guān)，則A與B的波動(dòng)就會(huì)相互抵消。這樣，風(fēng)險(xiǎn)是由組合里的資產(chǎn)類型決定的，所以通過多樣化分散的投資策略，無論在理論還是實(shí)際上，這種風(fēng)險(xiǎn)都是可以最小化甚至消除的。而這個(gè)消除的過程中，整個(gè)投資組合的收益率是不會(huì)下降的。

3.4 2種收益

與風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)應(yīng)是收益，我們承受了2種風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，也獲得了風(fēng)險(xiǎn)所帶來的收益。一部分是與市場(chǎng)完全相關(guān)收益部分，即beta(β)收益；另一部分與市場(chǎng)不相關(guān)的收益部分，即alpha(α)收益。

beta收益，相對(duì)容易獲得，例如，你看好一個(gè)市場(chǎng)，可以持有成本低廉的對(duì)應(yīng)市場(chǎng)的指數(shù)基金，等待市場(chǎng)上漲。

alpha收益，比較難獲得，alpha是體現(xiàn)投資水平的策略收益。

alpha是，投資組合的實(shí)際期望收益與預(yù)期收益之間的差。計(jì)算alpha的公式為：

E(ri) – rf = αi + βi  *  [E(rm) – rf]
αi         = [E(ri) – rf] -  βi * [E(rm) – rf]

alpha是衡量投資人投資水平的，我們舉個(gè)例來說明。比如：市場(chǎng)收益率為14%，A證券的β=1.2，短期國(guó)債利率6%，投資者對(duì)這只股票的進(jìn)行了交易，獲得的實(shí)際收益為17%，那么我們?cè)趺磁袛嗤顿Y人的水平呢？

首先，先求出A證券的預(yù)期收益率 = 6% + 1.2*(14-6)% = 15.6%，再用投資者實(shí)際收益減去A證券預(yù)期收益 17% – 15.6% = 1.4%。最后獲得的1.4%就是alpha，表示投資者能力，可以額外獲得1.4%的收益。

3.5 資本資產(chǎn)定價(jià)模型的應(yīng)用場(chǎng)景

進(jìn)行組合投資分散風(fēng)險(xiǎn)：投資者可以按市場(chǎng)組合的構(gòu)成比例分散持有多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，使持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合最大限度地接近市場(chǎng)組合，以達(dá)到消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的目的。

調(diào)整收益風(fēng)險(xiǎn)比例：將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)組合進(jìn)行再組合，以獲得所希望的個(gè)性化的風(fēng)險(xiǎn)收益組合。

指數(shù)化投資：將資產(chǎn)配置在與某一指數(shù)相同的權(quán)重的投資方法，通過微調(diào)權(quán)重或成分，獲得比指數(shù)更好的alpha。

資產(chǎn)定價(jià)：資本資產(chǎn)定價(jià)模型可以用來判斷有價(jià)證券或其他金融資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格是否處于均衡水平，是否被高估或低估，以便通過套利活動(dòng)獲取超額收益。

基金購買：舉一個(gè)貼近市場(chǎng)的例子，當(dāng)我們要購買基金時(shí)，也可以用到資本資產(chǎn)定價(jià)模型幫我們分析。比如，基金A的期望收益率12%，風(fēng)險(xiǎn)β=1，基金B(yǎng)期望收益率13%，β=1.5。市場(chǎng)期望收益率11%，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率r0 = 5%。 那么哪只基金更值得買？

當(dāng)你每天打開支付寶，看到里面的各種基金推薦。你就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)實(shí)際的問題。如果你懂學(xué)了本文，按照資本資產(chǎn)定價(jià)模型的思路，其實(shí)就是求alpha，哪個(gè)基金的alpha高，就買哪個(gè)。

求alpha，我們就直接套用公式。

αA = 12 – 5 – 1 * [11 - 5] = 1%
αB = 13 – 5 – 1.5* [11 -5 ] = -1%

基金A的alpha為1%，而基金B(yǎng)的alpha為-1%。結(jié)論就很明顯，基金A的管理人能力很好，超額收益1%；而基金B(yǎng)的管理人，就差一些，盈利低于市場(chǎng)1%。所以，我們會(huì)投資基金A，而不會(huì)投資基金B(yǎng)。

4. 用R構(gòu)建投資組合模型

花了大量的篇幅介紹了資本資產(chǎn)定價(jià)模型的原理，對(duì)于程序?qū)崿F(xiàn)其實(shí)是相當(dāng)簡(jiǎn)單地。因?yàn)?a href='/map/r/' style='color:#000;font-size:inherit;'>R語言中，已經(jīng)把資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)的計(jì)算函數(shù)都封包好了，我們僅僅是調(diào)用就能完成整個(gè)的計(jì)算過程。

R語言程序?qū)崿F(xiàn)，我們主要會(huì)用到2個(gè)包，quantmod和PerformanceAnalytics。對(duì)于為什么要用R語言，可以參考文章R語言為量化而生

quantmod，用于下載數(shù)據(jù)。

PerformanceAnalytics，用于進(jìn)行各種評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算。

我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景，假如我有10萬美金想投資于美國(guó)的股市，我想獲得比標(biāo)普好(SP500)的投資收益，那么我應(yīng)該如何購買股票。

首先，我們先想清楚，我的最終的目標(biāo)是“比標(biāo)普好的投資收益”。其次，我們基于資本資產(chǎn)定價(jià)模型理論基礎(chǔ)，從投資組合角度思考投資策略，而不是技術(shù)指標(biāo)的角度。比標(biāo)普好，那么我們就需要以標(biāo)普指數(shù)做為理想投資組合。然后，我們?nèi)ナ袌?chǎng)上選擇幾個(gè)股票，分別計(jì)算出收益率，beta，alpha等指標(biāo)，判斷是否符合的預(yù)期，反復(fù)測(cè)試，直到找到合適的股票或股票組合。

本文只是案例介紹，用于說明投資思路和方法，不購成任何的股票推薦。

本文的系統(tǒng)環(huán)境

Win10 64bit

R version 3.2.3 (2015-12-10)

從yahoo下載IBM,GE(通用電器),YHOO(Yahoo)的3只股票，從2010年01月01日的日行情數(shù)據(jù)，同時(shí)下載標(biāo)普指數(shù)(SP500)的日行情數(shù)據(jù)。

下面代碼并不完整，但思路已經(jīng)給出，請(qǐng)大家不要太隨意地張嘴要數(shù)據(jù)和代碼，畢竟寫一篇文章非常辛苦。如果你想直接用我的代碼，請(qǐng)掃文章下面二維碼，請(qǐng)作者喝杯咖啡吧。 :_D

執(zhí)行R語言程序。

# 加載程序包
> library(quantmod)
> library(PerformanceAnalytics)

# 從yahoo下載3只股票的數(shù)據(jù)，和SP500的數(shù)據(jù)
> getSymbols(c('IBM','GE','YHOO','^GSPC'), from = '2010-01-01')

# 打印前6行和后6行數(shù)據(jù)
> head(GSPC)
              open    high     low   close     volume adjusted
2010-01-04 1116.56 1133.87 1116.56 1132.99 3991400000  1132.99
2010-01-05 1132.66 1136.63 1129.66 1136.52 2491020000  1136.52
2010-01-06 1135.71 1139.19 1133.95 1137.14 4972660000  1137.14
2010-01-07 1136.27 1142.46 1131.32 1141.69 5270680000  1141.69
2010-01-08 1140.52 1145.39 1136.22 1144.98 4389590000  1144.98
2010-01-11 1145.96 1149.74 1142.02 1146.98 4255780000  1146.98

> tail(GSPC)
              open    high     low   close     volume adjusted
2016-12-20 2266.50 2272.56 2266.14 2270.76 3298780000  2270.76
2016-12-21 2270.54 2271.23 2265.15 2265.18 2852230000  2265.18
2016-12-22 2262.93 2263.18 2256.08 2260.96 2876320000  2260.96
2016-12-23 2260.25 2263.79 2258.84 2263.79 2020550000  2263.79
2016-12-27 2266.23 2273.82 2266.15 2268.88 1987080000  2268.88
2016-12-28 2270.23 2271.31 2249.11 2249.92 2392360000  2249.92

# 畫出SP500的K線圖
> barChart(GSPC)

把4個(gè)品種的調(diào)整后的價(jià)格進(jìn)行合并。

> # 改列名
> names(IBM)<-c("open","high","low","close","volume","adjusted")
> names(GE)<-c("open","high","low","close","volume","adjusted")
> names(YHOO)<-c("open","high","low","close","volume","adjusted")
> names(GSPC)<-c("open","high","low","close","volume","adjusted")

# 數(shù)據(jù)合并
> dat=merge(IBM$adjusted,GE$adjusted,YHOO$adjusted,GSPC$adjusted)
> names(dat)<-c('IBM','GE','YHOO','SP500')

# 打印前6行
> head(dat)
                IBM       GE  YHOO   SP500
2010-01-04 112.2859 12.27367 17.10 1132.99
2010-01-05 110.9295 12.33722 17.23 1136.52
2010-01-06 110.2089 12.27367 17.17 1137.14
2010-01-07 109.8274 12.90920 16.70 1141.69
2010-01-08 110.9295 13.18724 16.70 1144.98
2010-01-11 109.7680 13.31435 16.74 1146.98

計(jì)算每日收益率，合并收益率到dat_ret

> dat_ret=merge(IBM_ret,GE_ret,YHOO_ret,SP500_ret)
> names(dat_ret)<-c('IBM','GE','YHOO','SP500')
> head(dat_ret)
                    IBM           GE         YHOO        SP500
2010-01-04  0.009681385  0.015111695  0.009445041 0.0147147759
2010-01-05 -0.012079963  0.005177994  0.007602339 0.0031156762
2010-01-06 -0.006496033 -0.005151320 -0.003482298 0.0005455205
2010-01-07 -0.003461515  0.051779935 -0.027373267 0.0040012012
2010-01-08  0.010034759  0.021538462  0.000000000 0.0028817272
2010-01-11 -0.010470080  0.009638554  0.002395150 0.0017467554

定義無風(fēng)險(xiǎn)收益率為4%，計(jì)算4個(gè)資產(chǎn)的平均年化收益率。

# 無風(fēng)險(xiǎn)收益率
> Rf<-.04/12

# 計(jì)算平均年化收益率，平均年化標(biāo)準(zhǔn)差，平均年化Sharpe
> results<-table.AnnualizedReturns(dat_ret,Rf=Rf)
> results
                               IBM      GE    YHOO   SP500
Annualized Return           0.0345  0.1108  0.1257  0.1055
Annualized Std Dev          0.1918  0.2180  0.3043  0.1555
Annualized Sharpe (Rf=84%) -2.8892 -2.3899 -1.6911 -3.3659

統(tǒng)計(jì)指標(biāo)分析，每個(gè)資產(chǎn)有1760個(gè)樣本點(diǎn)，沒有NA值。日最小收益率，YHOO最小為-0.0871。日最大收益率，在GE為0.1080。算數(shù)平均，幾何平均，方差，標(biāo)準(zhǔn)差都是YHOO最大。

# 計(jì)算統(tǒng)計(jì)指標(biāo)
> stats
                      IBM        GE      YHOO     SP500
Observations    1760.0000 1760.0000 1760.0000 1760.0000
NAs                0.0000    0.0000    0.0000    0.0000
Minimum           -0.0828   -0.0654   -0.0871   -0.0666
Quartile 1        -0.0060   -0.0065   -0.0098   -0.0039
Median             0.0002    0.0004    0.0005    0.0005
Arithmetic Mean    0.0002    0.0005    0.0007    0.0004
Geometric Mean     0.0001    0.0004    0.0005    0.0004
Quartile 3         0.0067    0.0077    0.0112    0.0053
Maximum            0.0567    0.1080    0.1034    0.0474
SE Mean            0.0003    0.0003    0.0005    0.0002
LCL Mean (0.95)   -0.0004   -0.0001   -0.0002    0.0000
UCL Mean (0.95)    0.0008    0.0012    0.0015    0.0009
Variance           0.0001    0.0002    0.0004    0.0001
Stdev              0.0121    0.0137    0.0192    0.0098
Skewness          -0.5876    0.3084    0.0959   -0.3514
Kurtosis           4.6634    4.7294    2.9990    4.0151

畫出IBM股票，日收益和月收益的圖，4個(gè)資的累積收益率圖，并對(duì)4個(gè)資產(chǎn)做相關(guān)性分析。

IBM股票，每日收益圖

IBM股票，每月收益圖

4個(gè)品種的累積收益率圖

從上圖中可以看出，紅線(GE)和藍(lán)線(SP500)的走勢(shì)基本穩(wěn)合，說明GE在從2010開始在跟著美國(guó)經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展。綠線(YHOO)從2013初到2015年初大幅拉升，領(lǐng)先于SP500很多，說明這段時(shí)期YHOO所處的互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)，帶來了非常大的市場(chǎng)紅利；從2015年到2016年，又下跌很大，大起大落，受市場(chǎng)影響非常敏感。黑線(IBM)大部分時(shí)間都處于SP500的下方，說明美國(guó)經(jīng)濟(jì)這幾年的高速發(fā)展，并沒有給IBM帶來很大的發(fā)展空間。如果從我們的目標(biāo)來說，”比標(biāo)普好的投資收益”那么我們只能選擇GE或YHOO。

相關(guān)性分析

對(duì)4個(gè)品種進(jìn)行相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)GE和SP500相關(guān)系數(shù)為0.78，是3只股票中最相關(guān)的。而YHOO是與其他3個(gè)品種走勢(shì)最不一樣的。

最后，以SP500為市場(chǎng)組合，分別計(jì)算出3只股票的alpha和beta。

# 計(jì)算alpha
> CAPM.alpha(dat_ret[,1:3],dat_ret[,4],Rf=Rf)
                      IBM           GE         YHOO
Alpha: SP500 -0.000752943 0.0003502332 0.0003944279

# 計(jì)算beta
> CAPM.beta(dat_ret[,1:3],dat_ret[,4],Rf=Rf)
                  IBM       GE     YHOO
Beta: SP500 0.8218135 1.098877 1.064844

3只股票中，IBM的alpha是最小的，而且是負(fù)的，說明IBM落后于市場(chǎng)，買IBM不如直接SP500更好。GE的Beta是最大的，在上升時(shí)期beta越大，獲得的市場(chǎng)收益也會(huì)越大。YHOO從Alpha和Beta上看，雖然與GE接近，但由于標(biāo)準(zhǔn)差，最大回撤等指標(biāo)過大，會(huì)導(dǎo)致波動(dòng)太大。

綜上分析，我們?nèi)绻渲貌糠諫E和部分YHOO，就可以獲得比標(biāo)普好的收益，但由于GE和YHOO的beta都高于SP500，所以風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)高于SP500，需要增加新的股票來分散風(fēng)險(xiǎn)，具體的定量分析，將在以后的文章中再進(jìn)行介紹了。

5. Beta VS Alpha

最后，補(bǔ)充一些Alpha和Beta的說明。Alpha和Beta的認(rèn)知最早是一個(gè)股市起源的概念，是一個(gè)關(guān)于投資組合的收益率分解的問題

Alpha:一般被認(rèn)為是投資組合的超額收益，也既管理人的能力；

Beta:市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，最初主要指股票市場(chǎng)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

Alpha是平均實(shí)際回報(bào)和平均預(yù)期回報(bào)的差額。

α>0，表示一基金或股票的價(jià)格可能被低估，建議買入。

α<0，表示一基金或股票的價(jià)格可能被高估，建議賣空。

α=0，表示一基金或股票的價(jià)格準(zhǔn)確反映其內(nèi)在價(jià)值，未被高估也未被低估。

Beta反映了單個(gè)證券與整體市場(chǎng)組合的聯(lián)動(dòng)性。

β>1，攻擊性，市場(chǎng)上升時(shí)漲幅大。

β<1，防御性，市場(chǎng)下跌時(shí)跌幅小。

β=1，中立性，與市場(chǎng)波動(dòng)一致。

從資本資產(chǎn)定價(jià)模型開始發(fā)展到現(xiàn)今，已經(jīng)有很長(zhǎng)的時(shí)間了。金融理論在一直發(fā)展，繼資本資產(chǎn)定價(jià)模型之后又一重要的理論突破是套利定價(jià)理論，我將在下一篇文章中進(jìn)行介紹。

本文中，我詳細(xì)地介紹了資本資產(chǎn)定價(jià)模型的金融理論、推到過程、以及R語言實(shí)現(xiàn)，用我自己的理解進(jìn)行闡述。希望能給走在量化道路上的朋友帶來入門的指引和幫助，也希望找到像我一樣，通過IT轉(zhuǎn)金融的人，讓我一起用IT技術(shù)+金融的思維在金融市場(chǎng)搶錢吧。