詳解反向傳播算法

反向傳播算法(Backpropagation)已經(jīng)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行學(xué)習(xí)的標(biāo)配。但是有很多問題值得思考一下：

反向傳播算法的作用是什么？ 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)算法一般是SGD。SGD需要用到損失函數(shù)C關(guān)于各個權(quán)重參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。一個模型的參數(shù)w,b是非常多的，故而需要反向傳播算法快速計算。也就是說反向傳播算法是一種計算偏導(dǎo)數(shù)的方法。

為什么要提出反向傳播算法？ 在反向傳播算法提出之前人們應(yīng)該想到了使用SGD學(xué)習(xí)模型，也想到了一些辦法求解網(wǎng)絡(luò)模型的偏導(dǎo)數(shù)，但這些算法求解效率比較低，所以提出反向傳播算法來更高效的計算偏導(dǎo)數(shù)。（那時的網(wǎng)絡(luò)模型還比較淺只有2-3層，參數(shù)少。估計即便不適用反向傳播這種高效的算法也能很好的學(xué)習(xí)。一旦有人想使用更深的網(wǎng)絡(luò)自然會遇到這個偏導(dǎo)數(shù)無法高效計算的問題，提出反向傳播也就勢在必行了）

反向傳播怎么樣實現(xiàn)高效計算偏導(dǎo)數(shù)的？ 請先回顧一下當(dāng)初我們學(xué)習(xí)微積分時是如何計算偏導(dǎo)數(shù)的？ （鏈?zhǔn)椒▌t，具體看下面）

1 用計算圖來解釋幾種求導(dǎo)方法：

1.1 計算圖

式子 

可以用如下計算圖表達：

令a=2,b=1則有：

如何在計算圖上表達“求導(dǎo)”呢？ 導(dǎo)數(shù)的含義是 因變量隨自變量的變化率，例如  表示當(dāng)x變化1個單位，y會變化3個單位。 微積分中已經(jīng)學(xué)過：加法求導(dǎo)法則是   

乘法求導(dǎo)法則是。

我們在計算圖的邊上表示導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：

如下圖

那么 如何求呢？

告訴我們1個單位的b變化會引起1個單位的c變換，告訴我們 1 個單位的c變化會引起2個單位的e變化。所以 

 嗎？ 

答案必然是錯誤。因為這樣做只考慮到了下圖橙色的路徑，所有的路徑都要考慮：

所以上面的求導(dǎo)方法總結(jié)為一句話就是： 路徑上所有邊相乘，所有路徑相加。不過這里需要補充一條很有用的合并策略：

例如：下面的計算圖若要計算就會有9條路徑：

如果計算圖再復(fù)雜一些，層數(shù)再多一些，路徑數(shù)量就會呈指數(shù)爆炸性增長。但是如果采用合并策略：

 就不會出現(xiàn)這種問題。這種策略不是 對每一條路徑都求和，而是 “合并同類路徑”，“分階段求解”。先求X對Y的總影響 

 再求Y對Z的總影響 

 最后綜合在一起。

1.2 兩種求導(dǎo)模式：前向模式求導(dǎo)( forward-mode differentiation) 反向模式求導(dǎo)(reverse-mode differentiation)

上面提到的求導(dǎo)方法都是前向模式求導(dǎo)( forward-mode differentiation) ：從前向后。先求X對Y的總影響 再乘以Y對Z的總影響  。

另一種，反向模式求導(dǎo)(reverse-mode differentiation) 則是從后向前。先求Y對Z的影響再乘以X對Y的影響。

前向求導(dǎo)模式追蹤一個輸入如何影響每一個節(jié)點（對每一個節(jié)點進行操作）反向求導(dǎo)模式追蹤每一個節(jié)點如何影響一個輸出（對每一個節(jié)點進行 

操作）。

1.3 反向求導(dǎo)模式（反向傳播算法）的重要性：

讓我們再次考慮前面的例子：

如果用前向求導(dǎo)模式：關(guān)于b向前求導(dǎo)一次

如果用反向求導(dǎo)模式：向后求導(dǎo)

前向求導(dǎo)模式只得到了關(guān)于輸入b的偏導(dǎo) ，還需要再次求解關(guān)于輸入a的偏導(dǎo)

（運算2遍）。而反向求導(dǎo)一次運算就得到了e對兩個輸入a,b的偏導(dǎo)

（運算1遍）。上面的比較只看到了2倍的加速。但如果有1億個輸入1個輸出，意味著前向求導(dǎo)需要操作1億遍才得到所有關(guān)于輸入的偏導(dǎo)，而反向求導(dǎo)則只需一次運算，1億倍的加速。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)

當(dāng)我們訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，把“損失“ 看作 ”權(quán)重參數(shù)“ 的函數(shù)，需要計算”損失“關(guān)于每一個”權(quán)重參數(shù)“的偏導(dǎo)數(shù)（然后用梯度下降法學(xué)習(xí)）。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重參數(shù)可以是百萬甚至過億級別。因此 反向求導(dǎo)模式（反向傳播算法）可以極大的加速學(xué)習(xí)。