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機器學(xué)習(xí)需要哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
2017-05-20
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機器學(xué)習(xí)需要哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

過去的幾個月中，有幾人聯(lián)系我，訴說他們對嘗試進入數(shù)據(jù)科學(xué)的世界，以及用機器學(xué)習(xí)的技術(shù)去探索統(tǒng)計規(guī)律并構(gòu)建無可挑剔的數(shù)據(jù)驅(qū)動型產(chǎn)品的熱忱。然而，我發(fā)現(xiàn)一些人實際上缺乏必要的數(shù)學(xué)直覺和知識框架去得到有用的結(jié)果。這便是我決定寫這篇博文的主要原因。最近涌現(xiàn)出了很多易于使用的機器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的軟件包，例如 scikit-learn, Weka, Tensorflow 等等。機器學(xué)習(xí)理論是統(tǒng)計學(xué)、概率學(xué)、計算機科學(xué)以及算法的交叉領(lǐng)域，是通過從數(shù)據(jù)中的迭代學(xué)習(xí)去發(fā)現(xiàn)能夠被用來構(gòu)建智能應(yīng)用的隱藏知識。盡管機器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)有著無限可能，然而為了更好地掌握算法的內(nèi)部工作機理和得到較好的結(jié)果，對大多數(shù)這些技術(shù)有一個透徹的數(shù)學(xué)理解是必要的。

邏輯回歸和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代價函數(shù)的計算方法

為什么要重視數(shù)學(xué)？

機器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)是重要的，有很多原因，下面我將強調(diào)其中的一些：

1. 選擇正確的算法，包括考慮到精度、訓(xùn)練時間、模型復(fù)雜度、參數(shù)的數(shù)量和特征數(shù)量。

2. 選擇參數(shù)的設(shè)置和驗證策略。

3. 通過理解偏差和方差之間的 tradeoff 來識別欠擬合與過擬合。

4. 估計正確的置信區(qū)間和不確定度。

你需要什么水平的數(shù)學(xué)？

當(dāng)你嘗試著去理解一個像機器學(xué)習(xí)（ML）一樣的交叉學(xué)科的時候，主要問題是理解這些技術(shù)所需要的數(shù)學(xué)知識的量以及必要的水平。這個問題的答案是多維的，也會因個人的水平和興趣而不同。關(guān)于機器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)公式和理論進步正在研究之中，而且一些研究者正在研究更加先進的技術(shù)。下面我會說明我所認(rèn)為的要成為一個機器學(xué)習(xí)科學(xué)家/工程師所需要的最低的數(shù)學(xué)水平以及每個數(shù)學(xué)概念的重要性。

1. 線性代數(shù)：我的一個同事 Skyler Speakman 最近說過，「線性代數(shù)是 21 世紀(jì)的數(shù)學(xué)」，我完全贊同他的說法。在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，線性代數(shù)無處不在。主成分分析（PCA）、奇異值分解（SVD）、矩陣的特征分解、LU 分解、QR 分解、對稱矩陣、正交化和正交歸一化、矩陣運算、投影、特征值和特征向量、向量空間和范數(shù)（Norms），這些都是理解機器學(xué)習(xí)中所使用的優(yōu)化方法所需要的。令人驚奇的是現(xiàn)在有很多關(guān)于線性代數(shù)的在線資源。我一直說，由于大量的資源在互聯(lián)網(wǎng)是可以獲取的，因而傳統(tǒng)的教室正在消失。

2. 概率論和統(tǒng)計學(xué)：機器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計學(xué)并不是迥然不同的領(lǐng)域。事實上，最近就有人將機器學(xué)習(xí)定義為「在機器上做統(tǒng)計」。機器學(xué)習(xí)需要的一些概率和統(tǒng)計理論分別是：組合、概率規(guī)則和公理、貝葉斯定理、隨機變量、方差和期望、條件和聯(lián)合分布、標(biāo)準(zhǔn)分布（伯努利、二項式、多項式、均勻和高斯）、時刻生成函數(shù)（Moment Generating Functions）、最大似然估計（MLE）、先驗和后驗、最大后驗估計（MAP）和抽樣方法。

3. 多元微積分：一些必要的主題包括微分和積分、偏微分、向量值函數(shù)、方向梯度、海森、雅可比、拉普拉斯、拉格朗日分布。

4. 算法和復(fù)雜優(yōu)化：這對理解我們的機器學(xué)習(xí)算法的計算效率和可擴展性以及利用我們的數(shù)據(jù)集中稀疏性很重要。需要的知識有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（二叉樹、散列、堆、棧等）、動態(tài)規(guī)劃、隨機和子線性算法、圖論、梯度/隨機下降和原始對偶方法。

5. 其他：這包括以上四個主要領(lǐng)域沒有涵蓋的數(shù)學(xué)主題。它們是實數(shù)和復(fù)數(shù)分析（集合和序列、拓?fù)鋵W(xué)、度量空間、單值連續(xù)函數(shù)、極限）、信息論（熵和信息增益）、函數(shù)空間和流形學(xué)習(xí)。


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