利用SPSS進(jìn)行主成分分析

【例子】 以全國31個(gè)省市的8項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為例，進(jìn)行主成分分析。 第一步：錄入或調(diào)入數(shù)據(jù)（圖1）。

圖1 原始數(shù)據(jù)（未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化）

第二步：打開“因子分析”對話框。

沿著主菜單的“Analyze→Data Reduction→FactorΚ”的路徑（圖2）打開因子分析選項(xiàng)框（圖3）。

圖2 打開因子分析對話框的路徑

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圖3 因子分析選項(xiàng)框

第三步：選項(xiàng)設(shè)置。

首先，在源變量框中選中需要進(jìn)行分析的變量，點(diǎn)擊右邊的箭頭符號，將需要的變

。在本例中，全部8個(gè)變量都要用上，故全部調(diào)入量調(diào)入變量（Variables）欄中（圖3）

（圖4）。因無特殊需要，故不必理會(huì)“ValueΚ”欄。下面逐項(xiàng)設(shè)置。

圖4 將變量移到變量欄以后

⒈ 設(shè)置Descriptives選項(xiàng)。

，彈出Descriptives對話框（圖5）。 單擊Descriptives按鈕（圖4）

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圖5 描述選項(xiàng)框

在Statistics欄中選中Univariate descriptives復(fù)選項(xiàng)，則輸出結(jié)果中將會(huì)給出原始數(shù)據(jù)的抽樣均值、方差和樣本數(shù)目（這一欄結(jié)果可供檢驗(yàn)參考）；選中Initial solution復(fù)選項(xiàng)，則會(huì)給出主成分載荷的公因子方差（這一欄數(shù)據(jù)分析時(shí)有用）。

在Correlation Matrix欄中，選中Coefficients復(fù)選項(xiàng)，則會(huì)給出原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣（分析時(shí)可參考）；選中Determinant復(fù)選項(xiàng)，則會(huì)給出相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式，如果希望在Excel中對某些計(jì)算過程進(jìn)行了解，可選此項(xiàng)，否則用途不大。其它復(fù)選項(xiàng)一般不用，但在特殊情況下可以用到（本例不選）。

設(shè)置完成以后，單擊Continue按鈕完成設(shè)置（圖5）。

⒉ 設(shè)置Extraction選項(xiàng)。

打開Extraction對話框（圖6）。因子提取方法主要有7種，在Method欄中可以看到，系統(tǒng)默認(rèn)的提取方法是主成分（Πρινχιπαλ χομπονεντσ），因此對此欄不作變動(dòng)，就是認(rèn)可了主成分分析方法。

在Analyze欄中，選中Correlation matirx復(fù)選項(xiàng)，則因子分析基于數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行分析；如果選中Covariance matrix復(fù)選項(xiàng)，則因子分析基于數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行分析。對于主成分分析而言，由于數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化了，這兩個(gè)結(jié)果沒有分別，因此任選其一即可。

在Display欄中，選中Unrotated factor solution（非旋轉(zhuǎn)因子解）復(fù)選項(xiàng)，則在分析結(jié)果中給出未經(jīng)旋轉(zhuǎn)的因子提取結(jié)果。對于主成分分析而言，這一項(xiàng)選擇與否都一樣；對于旋轉(zhuǎn)因子分析，選擇此項(xiàng)，可將旋轉(zhuǎn)前后的結(jié)果同時(shí)給出，以便對比。

“山麓”圖），則在分析結(jié)果中給出特征根按大小分布的折線圖（形選中Scree Plot（

如山麓截面，故得名），以便我們直觀地判定因子的提取數(shù)量是否準(zhǔn)確。

在Extract欄中，有兩種方法可以決定提取主成分（因子）的數(shù)目。一是根據(jù)特征根（Eigenvalues）的數(shù)值，系統(tǒng)默認(rèn)的是λc=1。我們知道，在主成分分析中，主成分得分的方差就是對應(yīng)的特征根數(shù)值。如果默認(rèn)λc=1，則所有方差大于等于1的主成分將被保留，其余舍棄。如果覺得最后選取的主成分?jǐn)?shù)量不足，可以將λc值降低，例如取λc=0.9；如果認(rèn)為最后的提取的主成分?jǐn)?shù)量偏多，則可以提高λc值，例如取λc=1.1。主成分?jǐn)?shù)目是否合適，要在進(jìn)行一輪分析以后才能肯定。因此，特征根數(shù)值的設(shè)定，要在反復(fù)試驗(yàn)以后才能決定。一般而言，在初次分析時(shí)，最好降低特征根的臨

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界值（如取λc=0.8） ，這樣提取的主成分將會(huì)偏多，根據(jù)初次分析的結(jié)果，在第二輪分析過程中可以調(diào)整特征根的大小。

第二種方法是直接指定主成分的數(shù)目即因子數(shù)目，這要選中Number of factors復(fù)選項(xiàng)。主成分的數(shù)目選多少合適？開始我們并不十分清楚。因此，首次不妨將數(shù)值設(shè)大一些，但不能超過變量數(shù)目。本例有8個(gè)變量，因此，最大的主成分提取數(shù)目為8，不得超過此數(shù)。在我們第一輪分析中，采用系統(tǒng)默認(rèn)的方法提取主成分。

圖6 提取對話框

需要注意的是：主成分計(jì)算是利用迭代（Iterations）方法，系統(tǒng)默認(rèn)的迭代次數(shù)是25次。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，25次迭代是不夠的，需要改為50次、100次乃至更多。對于本例而言，變量較少，25次迭代足夠，故無需改動(dòng)。

設(shè)置完成以后，單擊Continue按鈕完成設(shè)置（圖6）。

⒊ 設(shè)置Scores設(shè)置。

選中Save as variables欄，則分析結(jié)果中給出標(biāo)準(zhǔn)化的主成分得分（在數(shù)據(jù)表的后面）。至于方法復(fù)選項(xiàng)，對主成分分析而言，三種方法沒有分別，采用系統(tǒng)默認(rèn)的“回歸”（Regression）法即可。

圖7 因子得分對話框

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選中Display factor score coefficient matrix，則在分析結(jié)果中給出因子得分系數(shù)矩陣及其相關(guān)矩陣。

設(shè)置完成以后，單擊Continue按鈕完成設(shè)置（圖7）。

⒋ 其它。

對于主成分分析而言，旋轉(zhuǎn)項(xiàng)（Rotation）可以不必設(shè)置；對于數(shù)據(jù)沒有缺失的情況下，Option項(xiàng)可以不必理會(huì)。

全部設(shè)置完成以后，點(diǎn)擊OK確定，SPSS很快給出計(jì)算結(jié)果（圖8）。

圖8 主成分分析的結(jié)果

第四步，結(jié)果解讀。

在因子分析結(jié)果（Output）中，首先給出的Descriptive Statistics，第一列Mean對應(yīng)的變量的算術(shù)平均值，計(jì)算公式為

1nj=∑xij ni=1

第二列Std. Deviation對應(yīng)的是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式為

1nσj=[(xij?j)2]1/2 ∑n?1i=1

第三列Analysis N對應(yīng)是樣本數(shù)目。這一組數(shù)據(jù)在分析過程中可作參考。 5

接下來是Correlation Matrix(相關(guān)系數(shù)矩陣)，一般而言，相關(guān)系數(shù)高的變量，大多會(huì)進(jìn)入同一個(gè)主成分，但不盡然，除了相關(guān)系數(shù)外，決定變量在主成分中分布地位的因素還有數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。相關(guān)系數(shù)矩陣對主成分分析具有參考價(jià)值，畢竟主成分分析是從計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根開始的。相關(guān)系數(shù)陣下面的Determinant=1.133E-0.4是相關(guān)矩陣的行列式值，根據(jù)關(guān)系式det(λI?R)=0可知，det(λI)=det(R),從而Determinant=1.133E-0.4=λ1*λ2*λ3*λ4*λ5*λ6*λ7*λ8。這一點(diǎn)在后面將會(huì)得到驗(yàn)證。

在Communalities(公因子方差)中，給出了因子載荷陣的初始公因子方差（Initial）和提取公因子方差（Extraction），后面將會(huì)看到它們的含義。

在Total Variance Explained(全部解釋方差) 表的Initial Eigenvalues（初始特

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征根）中，給出了按順序排列的主成分得分的方差(Total)，在數(shù)值上等于相關(guān)系數(shù)矩陣的各個(gè)特征根λ，因此可以直接根據(jù)特征根計(jì)算每一個(gè)主成分的方差百分比（% of Variance）。由于全部特征根的總和等于變量數(shù)目，即有m=∑λi=8，故第一個(gè)特征根的方差百分比為λ1/m=3.755/8=46.939，第二個(gè)特征根的百分比為λ2/m=2.197/8= 27.459，……，其余依此類推。然后可以算出方差累計(jì)值（Cumulative %）。在Extraction Sums of Squared Loadings，給出了從左邊欄目中提取的三個(gè)主成分及有關(guān)參數(shù)，提取的原則是滿足λ>1，這一點(diǎn)我們在圖6所示的對話框中進(jìn)行了限定。

圖8 特征根數(shù)值衰減折線圖（山麓圖）

主成分的數(shù)目可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來判定，如前所說，相關(guān)系數(shù)矩陣的特 7

征根剛好等于主成分的方差，而方差是變量數(shù)據(jù)蘊(yùn)涵信息的重要判據(jù)之一。根據(jù)λ值決定主成分?jǐn)?shù)目的準(zhǔn)則有三：

i 只取λ>1的特征根對應(yīng)的主成分

從Total Variance Explained表中可見，第一、第二和第三個(gè)主成分對應(yīng)的λ值都大于1，這意味著這三個(gè)主成分得分的方差都大于1。本例正是根據(jù)這條準(zhǔn)則提取主成分的。

ii 累計(jì)百分比達(dá)到80%~85%以上的λ值對應(yīng)的主成分

在Total Variance Explained表可以看出，前三個(gè)主成分對應(yīng)的λ值累計(jì)百分比達(dá)到89.584%，這暗示只要選取三個(gè)主成分，信息量就夠了。

iii 根據(jù)特征根變化的突變點(diǎn)決定主成分的數(shù)量

從特征根分布的折線圖（Scree Plot）上可以看到，第4個(gè)λ值是一個(gè)明顯的折點(diǎn)，這暗示選取的主成分?jǐn)?shù)目應(yīng)有p≤4（圖8）。那么，究竟是3個(gè)還是4個(gè)呢？根據(jù)前面兩條準(zhǔn)則，選3個(gè)大致合適（但小有問題）。

在Component Matrix（成分矩陣）中，給出了主成分載荷矩陣，每一列載荷值都顯示了各個(gè)變量與有關(guān)主成分的相關(guān)系數(shù)。以第一列為例，0.885實(shí)際上是國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）與第一個(gè)主成分的相關(guān)系數(shù)。將標(biāo)準(zhǔn)化的GDP數(shù)據(jù)與第一主成分得分進(jìn)行回歸，決定系數(shù)R2=0.783（圖9），容易算出R=0.885，這正是GDP在第一個(gè)主成分上的載荷。

下面將主成分載荷矩陣拷貝到Excel上面作進(jìn)一步的處理：計(jì)算公因子方差和方差貢獻(xiàn)。首先求行平方和，例如，第一行的平方和為

h12=0.88492+0.38362+0.12092=0.9449

這是公因子方差。然后求列平方和，例如，第一列的平方和為

s12=0.88492+0.60672+…+0.82272=3.7551

這便是方差貢獻(xiàn)（圖10）。在Excel中有一個(gè)計(jì)算平方和的命令sumsq，可以方便地算出一組數(shù)據(jù)的平方和。顯然，列平方和即方差貢獻(xiàn)。事實(shí)上，有如下關(guān)系成立：

至于行平方和，顯然與前面公因子方差（Communalities）表中的Extraction列對應(yīng)的數(shù)據(jù)一樣。如果我們將8個(gè)主成分全部提取，則主成分載荷的行平方和都等于1（圖11），即有hi=1，sj=λj。到此可以明白：在Communalities中，Initial對應(yīng)的是初始公因子方差，實(shí)際上是全部主成分的公因子方差；Extraction對應(yīng)的是提取的主成分的公因子方差，我們提取了3個(gè)主成分，故計(jì)算公因子方差時(shí)只考慮3個(gè)主成分。

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4.00000

第一主成分

2.00000

0.00000

-2.00000

國內(nèi)生產(chǎn)總值

圖9 國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的與第一主成分的相關(guān)關(guān)系（標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)）

圖10 主成分方差與方差貢獻(xiàn)

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圖11 全部主成分的公因子方差和方差貢獻(xiàn)

提取主成分的原則上要求公因子方差的各個(gè)數(shù)值盡可能接近，亦即要求它們的方差極小，當(dāng)公因子方差完全相等時(shí)，它們的方差為0，這就達(dá)到完美狀態(tài)。實(shí)際應(yīng)用中，只要公因子方差數(shù)值彼此接近（不相差太遠(yuǎn)）就行了。從上面給出的結(jié)果可以看出：提取3個(gè)主成分的時(shí)候，居民消費(fèi)的公因子方差偏小，這暗示提取3個(gè)主成分，居民消費(fèi)方面的信息可能有較多的損失。至于方差貢獻(xiàn)，反映對應(yīng)主成分的重要程度，這一點(diǎn)從方差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義可以得到理解。

在圖11中，將最后一行的特征根全部乘到一起，得0.0001133，這正是相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式數(shù)值（在Excel中，求一組數(shù)據(jù)的乘積之和的命令是product）。

最后說明Component Score Coefficient Matrix（成分得分系數(shù)矩陣）和Component Score Covariance Matrix（成分得分協(xié)方差矩陣），前者是主成分得分系數(shù)，后者是主成分得分的協(xié)方差即相關(guān)系數(shù)。從Component Score Covariance Matrix可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化主成分得分之間的協(xié)方差即相關(guān)系數(shù)為0（j≠k）或1（j=k），這意味著主成分之間彼此正交即垂直。

初學(xué)者常將Component Score Coefficient Matrix表中的數(shù)據(jù)當(dāng)成主成分得分或因子得分，這是誤會(huì)。成分得分系數(shù)矩陣的數(shù)值是主成分載荷除以相應(yīng)的特征根得到的結(jié)果。在Component Matrix表中，將第一列數(shù)據(jù)分別除以λ1=3.755,第二列數(shù)值分別除以

立即得到Component Score Coefficient；反過來，如果將Component Score λ2=2.197,…，

Coefficient Matrix表中的各列數(shù)據(jù)分別乘以λ1=3.755，λ2=2.197,…，則可將其還原為主成分載荷即Component Matrix中的數(shù)據(jù)。

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實(shí)際上，主成分得分在原始數(shù)據(jù)所在的SPSS當(dāng)前數(shù)據(jù)欄中給出，不過給出的都是標(biāo)準(zhǔn)化的主成分得分(圖12a)；將各個(gè)主成分乘以相應(yīng)的√λ即特征根的二次方根可以將其還原為未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的主成分得分。

a.標(biāo)準(zhǔn)化的主成分得分 b. 非標(biāo)準(zhǔn)化的主成分得分

圖12 兩種主成分得分

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化主成分得分的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)，結(jié)果與Component Score Covariance 11

Matrix表中的給出的結(jié)果一致（見圖13）。

第一因子 第二因子 第三因子

第一因子 1 第二因子 0.00000 1 第三因子 0.00000 0.00000 1

圖13 主成分（得分）之間的相關(guān)系數(shù)矩陣

第五步，計(jì)算結(jié)果分析。

從Component Matrix即主成分載荷表中可以看出，國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資和工業(yè)產(chǎn)值在第一主成分上載荷較大，亦即與第一主成分的相關(guān)系數(shù)較高；職工工資和貨物周轉(zhuǎn)量在第二主成分上的載荷絕對值較大，即負(fù)相關(guān)程度較高；消費(fèi)價(jià)格指數(shù)在第三主成分上的載荷較大，即相關(guān)程度較高。

因此可將主成分命名如下：

第一主成分：投入－產(chǎn)出主成分； 第二主成分：工資－物流主成分； 第三主成分：消費(fèi)價(jià)格主成分。

問題在于：一方面，居民消費(fèi)和商品零售價(jià)格指數(shù)的歸類比較含混；另一方面，主成分的命名結(jié)構(gòu)不清。因此，有必要作進(jìn)一步的因子分析。

至于因子旋轉(zhuǎn)之類，留待“因子分析”部分說明；計(jì)算結(jié)果的系統(tǒng)分析不屬于軟件操作范圍