
簡單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法—非線性支持向量機(jī)
一、回顧
介紹了支持向量機(jī)的基本概念,線性可分支持向量機(jī)的原理以及線性支持向量機(jī)的原理,線性可分支持向量機(jī)是線性支持向量機(jī)的基礎(chǔ)。對(duì)于線性支持向量機(jī),選擇一個(gè)合適的懲罰參數(shù),并構(gòu)造凸二次規(guī)劃問題:
求得原始問題的對(duì)偶問題的最優(yōu)解,由此可求出原始問題的最優(yōu)解:
其中中滿足的分量。這樣便可以求得分離超平面
以及分類決策函數(shù):
線性可分支持向量機(jī)算法是線性支持向量機(jī)算法的特殊情況。
二、非線性問題的處理方法
在處理非線性問題時(shí),可以通過將分線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題,并通過已經(jīng)構(gòu)建的線性支持向量機(jī)來處理。如下圖所示:
(非線性轉(zhuǎn)成線性問題)
通過一種映射可以將輸入空間轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)的特征空間,體現(xiàn)在特征空間中的是對(duì)應(yīng)的線性問題。核技巧就可以完成這樣的映射工作。
1、核函數(shù)的定義(摘自《統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)》)
設(shè)是輸入空間(歐式空間的子集或離散集合),又設(shè)為特征空間(希爾伯特空間),如果存在一個(gè)從到的映射
使得對(duì)所有,函數(shù)
滿足條件
則稱為核函數(shù),為映射函數(shù)。
在實(shí)際的問題中,通常使用已有的核函數(shù)。
2、常用核函數(shù)
多項(xiàng)式核函數(shù)(Polynomial Kernel Function)
高斯核函數(shù)(Gaussian Kernel Function)
三、非線性支持向量機(jī)
1、選取適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)和適當(dāng)?shù)膮?shù),構(gòu)造原始問題的對(duì)偶問題:
求得對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解。
2、選擇的一個(gè)滿足的分量,求:
3、構(gòu)造決策函數(shù)
四、實(shí)驗(yàn)仿真
對(duì)于非線性可分問題,其圖像為:
(原始空間中的圖像)
MATLAB代碼
主程序
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%% 非線性支持向量機(jī)
% 清空內(nèi)存
clear all;
clc;
% 導(dǎo)入測試數(shù)據(jù)
A = load('testSetRBF.txt');
%% 區(qū)分開訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)
m = size(A);%得到整個(gè)數(shù)據(jù)集的大小
trainA = A(11:m(1,1),:);
testA = A(1:10,:);
% 訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)集的大小
mTrain = size(trainA);
mTest = size(testA);
% 區(qū)分開特征與標(biāo)簽
Xtrain = trainA(:,1:2);
Ytrain = trainA(:,mTrain(1,2))';
Xtest = testA(:,1:2);
Ytest = testA(:,mTest(1,2))';
%% 對(duì)偶問題,用二次規(guī)劃來求解,以求得訓(xùn)練模型
sigma = 0.5;%高斯核中的參數(shù)
H = zeros(mTrain(1,1),mTrain(1,1));
for i = 1:mTrain(1,1)
for j = 1:mTrain(1,1)
H(i,j) = GaussianKernalFunction(Xtrain(i,:),Xtrain(j,:),sigma);
H(i,j) = H(i,j)*Ytrain(i)*Ytrain(j);
end
end
f = ones(mTrain(1,1),1)*(-1);
B = Ytrain;
b = 0;
lb = zeros(mTrain(1,1),1);
% 調(diào)用二次規(guī)劃的函數(shù)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,[],[],B,b,lb);
% 定義C
C = max(x);
% 求解原問題
n = size(x);
k = 1;
for i = 1:n(1,1)
Kernel = zeros(n(1,1),1);
if x(i,1) > 0 && x(i,1)<C
for j = 1:n(1,1)
Kernel(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtrain(i,:),sigma);
Kernel(j,:) = Kernel(j,:)*Ytrain(j);
end
b(k,1) = Ytrain(1,i)-x'*Kernel;
k = k +1;
end
end
b = mean(b);
%% 決策函數(shù)來驗(yàn)證訓(xùn)練準(zhǔn)確性
trainOutput = zeros(mTrain(1,1),1);
for i = 1:mTrain(1,1)
Kernel_train = zeros(mTrain(1,1),1);
for j = 1:mTrain(1,1)
Kernel_train(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtrain(i,:),sigma);
Kernel_train(j,:) = Kernel_train(j,:)*Ytrain(j);
end
trainOutput(i,1) = x'*Kernel_train+b;
end
for i = 1:mTrain(1,1)
if trainOutput(i,1)>0
trainOutput(i,1)=1;
elseif trainOutput(i,1)<0
trainOutput(i,1)=-1;
end
end
% 統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)
countTrain = 0;
for i = 1:mTrain(1,1)
if trainOutput(i,1) == Ytrain(i)
countTrain = countTrain+1;
end
end
trainCorrect = countTrain./mTrain(1,1);
%% 決策函數(shù)來驗(yàn)證測試準(zhǔn)確性
testOutput = zeros(mTest(1,1),1);
for i = 1:mTest(1,1)
Kernel_test = zeros(mTrain(1,1),1);
for j = 1:mTrain(1,1)
Kernel_test(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtest(i,:),sigma);
Kernel_test(j,:) = Kernel_test(j,:)*Ytrain(j);
end
testOutput(i,1) = x'*Kernel_train+b;
end
for i = 1:mTest(1,1)
if testOutput(i,1)>0
testOutput(i,1)=1;
elseif testOutput(i,1)<0
testOutput(i,1)=-1;
end
end
% 統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)
countTest = 0;
for i = 1:mTest(1,1)
if testOutput(i,1) == Ytest(i)
countTest = countTest+1;
end
end
testCorrect = countTest./mTest(1,1);
disp(['訓(xùn)練的準(zhǔn)確性:',num2str(trainCorrect)]);
disp(['測試的準(zhǔn)確性:',num2str(testCorrect)]);
核函數(shù)
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%% 高斯核函數(shù),其中輸入x和y都是行向量
function [ output ] = GaussianKernalFunction( x,y,sigma )
output = exp(-(x-y)*(x-y)'./(2*sigma^2));
end
最終的結(jié)果為:
注:在這個(gè)問題中,有兩個(gè)參數(shù)需要調(diào)整,即核參數(shù)和懲罰參數(shù),選取合適的參數(shù)對(duì)模型的訓(xùn)練起著很重要的作用。在程序中,我是指定的參數(shù)。這里的程序只是為幫助理解算法的過程。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)
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