簡單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法—非線性支持向量機(jī)

一、回顧
介紹了支持向量機(jī)的基本概念，線性可分支持向量機(jī)的原理以及線性支持向量機(jī)的原理，線性可分支持向量機(jī)是線性支持向量機(jī)的基礎(chǔ)。對于線性支持向量機(jī)，選擇一個(gè)合適的懲罰參數(shù)，并構(gòu)造凸二次規(guī)劃問題：

求得原始問題的對偶問題的最優(yōu)解，由此可求出原始問題的最優(yōu)解：

其中中滿足的分量。這樣便可以求得分離超平面
以及分類決策函數(shù)：
    線性可分支持向量機(jī)算法是線性支持向量機(jī)算法的特殊情況。
二、非線性問題的處理方法
    在處理非線性問題時(shí)，可以通過將分線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題，并通過已經(jīng)構(gòu)建的線性支持向量機(jī)來處理。如下圖所示：

(非線性轉(zhuǎn)成線性問題)
通過一種映射可以將輸入空間轉(zhuǎn)換到對應(yīng)的特征空間，體現(xiàn)在特征空間中的是對應(yīng)的線性問題。核技巧就可以完成這樣的映射工作。
1、核函數(shù)的定義(摘自《統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)》)
   設(shè)是輸入空間(歐式空間的子集或離散集合)，又設(shè)為特征空間(希爾伯特空間)，如果存在一個(gè)從到的映射

使得對所有，函數(shù)滿足條件

則稱為核函數(shù)，為映射函數(shù)。
   在實(shí)際的問題中，通常使用已有的核函數(shù)。
2、常用核函數(shù)
多項(xiàng)式核函數(shù)(Polynomial Kernel Function)
高斯核函數(shù)(Gaussian Kernel Function)
 
三、非線性支持向量機(jī)
    1、選取適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)和適當(dāng)?shù)膮?shù)，構(gòu)造原始問題的對偶問題：

求得對應(yīng)的最優(yōu)解。
    2、選擇的一個(gè)滿足的分量，求:

    3、構(gòu)造決策函數(shù)
四、實(shí)驗(yàn)仿真
    對于非線性可分問題，其圖像為：

(原始空間中的圖像)

MATLAB代碼
主程序
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%% 非線性支持向量機(jī)  
 
% 清空內(nèi)存  
clear all;  
clc;  
 
% 導(dǎo)入測試數(shù)據(jù)  
A = load('testSetRBF.txt');  
 
%% 區(qū)分開訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)  
m = size(A);%得到整個(gè)數(shù)據(jù)集的大小  
trainA = A(11:m(1,1),:);  
testA = A(1:10,:);  
 
% 訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)集的大小  
mTrain = size(trainA);  
mTest = size(testA);  
 
% 區(qū)分開特征與標(biāo)簽  
Xtrain = trainA(:,1:2);  
Ytrain = trainA(:,mTrain(1,2))';  
Xtest = testA(:,1:2);  
Ytest = testA(:,mTest(1,2))';  
 
%% 對偶問題，用二次規(guī)劃來求解，以求得訓(xùn)練模型  
sigma = 0.5;%高斯核中的參數(shù)  
H = zeros(mTrain(1,1),mTrain(1,1));  
for i = 1:mTrain(1,1)  
    for j = 1:mTrain(1,1)  
        H(i,j) = GaussianKernalFunction(Xtrain(i,:),Xtrain(j,:),sigma);  
        H(i,j) = H(i,j)*Ytrain(i)*Ytrain(j);  
    end  
end  
 
f = ones(mTrain(1,1),1)*(-1);  
B = Ytrain;  
b = 0;  
lb = zeros(mTrain(1,1),1);  
% 調(diào)用二次規(guī)劃的函數(shù)  
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,[],[],B,b,lb);  
 
% 定義C  
C = max(x);  
 
% 求解原問題  
n = size(x);  
k = 1;  
for i = 1:n(1,1)  
    Kernel = zeros(n(1,1),1);  
    if x(i,1) > 0 && x(i,1)<C  
        for j = 1:n(1,1)  
            Kernel(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtrain(i,:),sigma);  
            Kernel(j,:) = Kernel(j,:)*Ytrain(j);  
        end  
        b(k,1) = Ytrain(1,i)-x'*Kernel;  
        k = k +1;  
    end  
end  
b = mean(b);  
 
 
%% 決策函數(shù)來驗(yàn)證訓(xùn)練準(zhǔn)確性  
trainOutput = zeros(mTrain(1,1),1);  
for i = 1:mTrain(1,1)  
    Kernel_train = zeros(mTrain(1,1),1);  
      
    for j = 1:mTrain(1,1)  
        Kernel_train(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtrain(i,:),sigma);  
        Kernel_train(j,:) = Kernel_train(j,:)*Ytrain(j);  
    end  
    trainOutput(i,1) = x'*Kernel_train+b;  
end  
 
for i = 1:mTrain(1,1)  
    if trainOutput(i,1)>0  
        trainOutput(i,1)=1;  
    elseif trainOutput(i,1)<0  
        trainOutput(i,1)=-1;  
    end  
end  
 
% 統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)  
countTrain = 0;  
for i = 1:mTrain(1,1)  
    if trainOutput(i,1) == Ytrain(i)  
        countTrain = countTrain+1;  
    end  
end  
trainCorrect = countTrain./mTrain(1,1);  
 
%% 決策函數(shù)來驗(yàn)證測試準(zhǔn)確性  
testOutput = zeros(mTest(1,1),1);  
for i = 1:mTest(1,1)  
    Kernel_test = zeros(mTrain(1,1),1);  
      
    for j = 1:mTrain(1,1)  
        Kernel_test(j,:) = GaussianKernalFunction(Xtrain(j,:),Xtest(i,:),sigma);  
        Kernel_test(j,:) = Kernel_test(j,:)*Ytrain(j);  
    end  
    testOutput(i,1) = x'*Kernel_train+b;  
end  
 
for i = 1:mTest(1,1)  
    if testOutput(i,1)>0  
        testOutput(i,1)=1;  
    elseif testOutput(i,1)<0  
        testOutput(i,1)=-1;  
    end  
end  
 
% 統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)  
countTest = 0;  
for i = 1:mTest(1,1)  
    if testOutput(i,1) == Ytest(i)  
        countTest = countTest+1;  
    end  
end  
testCorrect = countTest./mTest(1,1);  
 
disp(['訓(xùn)練的準(zhǔn)確性：',num2str(trainCorrect)]);  
disp(['測試的準(zhǔn)確性：',num2str(testCorrect)]);  

核函數(shù)
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%% 高斯核函數(shù)，其中輸入x和y都是行向量  
function [ output ] = GaussianKernalFunction( x,y,sigma )  
    output = exp(-(x-y)*(x-y)'./(2*sigma^2));  
end  

最終的結(jié)果為：
注：在這個(gè)問題中，有兩個(gè)參數(shù)需要調(diào)整，即核參數(shù)和懲罰參數(shù)，選取合適的參數(shù)對模型的訓(xùn)練起著很重要的作用。在程序中，我是指定的參數(shù)。這里的程序只是為幫助理解算法的過程。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)