
機(jī)器學(xué)習(xí)中的降維算法:ISOMAP & MDS
降維是機(jī)器學(xué)習(xí)中很有意思的一部分,很多時(shí)候它是無監(jiān)督的,能夠更好地刻畫數(shù)據(jù),對(duì)模型效果提升也有幫助,同時(shí)在數(shù)據(jù)可視化中也有著舉足輕重的作用。
一說到降維,大家第一反應(yīng)總是PCA,基本上每一本講機(jī)器學(xué)習(xí)的書都會(huì)提到PCA,而除此之外其實(shí)還有很多很有意思的降維算法,其中就包括isomap,以及isomap中用到的MDS。
ISOMAP是‘流形學(xué)習(xí)’中的一個(gè)經(jīng)典算法,流形學(xué)習(xí)貢獻(xiàn)了很多降維算法,其中一些與很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法也有結(jié)合,但上學(xué)的時(shí)候還看了蠻多的機(jī)器學(xué)習(xí)的書,從來沒聽說過流形學(xué)習(xí)的概念,還是在最新的周志華版的《機(jī)器學(xué)習(xí)》里才看到,很有意思,記錄分享一下。
流形學(xué)習(xí)
流形學(xué)習(xí)應(yīng)該算是個(gè)大課題了,它的基本思想就是在高維空間中發(fā)現(xiàn)低維結(jié)構(gòu)。比如這個(gè)圖:
這些點(diǎn)都處于一個(gè)三維空間里,但我們?nèi)艘豢淳椭浪褚粔K卷起來的布,圖中圈出來的兩個(gè)點(diǎn)更合理的距離是A中藍(lán)色實(shí)線標(biāo)注的距離,而不是兩個(gè)點(diǎn)之間的歐式距離(A中藍(lán)色虛線)。
此時(shí)如果你要用PCA降維的話,它 根本無法發(fā)現(xiàn)這樣卷曲的結(jié)構(gòu) (因?yàn)?a href='/map/pca/' style='color:#000;font-size:inherit;'>PCA是典型的 線性降維 ,而圖示的結(jié)構(gòu)顯然是非線性的),最后的降維結(jié)果就會(huì)一團(tuán)亂麻,沒法很好的反映點(diǎn)之間的關(guān)系。而流形學(xué)習(xí)在這樣的場(chǎng)景就會(huì)有很好的效果。
我對(duì)流形學(xué)習(xí)本身也不太熟悉,還是直接說算法吧。
ISOMAP
在降維算法中,一種方式是提供點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行降維,如PCA;另一種方式是提供點(diǎn)之間的距離矩陣,ISOMAP中用到的MDS(Multidimensional Scaling)就是這樣。
在計(jì)算距離的時(shí)候,最簡(jiǎn)單的方式自然是計(jì)算坐標(biāo)之間的歐氏距離,但I(xiàn)SOMAP對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn),就像上面圖示一樣:
1.通過kNN(k-Nearest Neighbor)找到點(diǎn)的k個(gè)最近鄰,將它們連接起來構(gòu)造一張圖。
2. 通過計(jì)算同中各點(diǎn)之間的最短路徑,作為點(diǎn)之間的距離 i j
放入距離矩陣 D
3. 將 D 傳給經(jīng)典的MDS算法,得到降維后的結(jié)果。
ISOMAP本身的 核心就在構(gòu)造點(diǎn)之間的距離 ,初看時(shí)不由得為其拍案叫絕,類似的思想在很多降維算法中都能看到,比如能將超高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維可視化的t-SNE。
ISOMAP效果,可以看到選取的最短路徑比較好地還原了期望的藍(lán)色實(shí)線,用這個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維會(huì)使流形得以保持:
ISOMAP算法步驟可謂清晰明了,所以本文主要著重講它中間用到的MDS算法,也是很有意思的。
經(jīng)典MDS(Multidimensional Scaling)
如上文所述,MDS接收的輸入是一個(gè)距離矩陣 D
,我們把一些點(diǎn)畫在坐標(biāo)系里:
如果只告訴一個(gè)人這些點(diǎn)之間的距離(假設(shè)是歐氏距離),他會(huì)丟失那些信息呢?
a. 我們對(duì)點(diǎn)做平移,點(diǎn)之間的距離是不變的。
b. 我們對(duì)點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn),點(diǎn)之間的距離是不變的。
所以想要從 D
還原到原始數(shù)據(jù) 是不可能的,因?yàn)橹唤o了距離信息之后本身就丟掉了很多東西,不過不必?fù)?dān)心,即使這樣我們也可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。
我們不妨假設(shè):
是一個(gè) n × 的矩陣,n為樣本數(shù),q是原始的維度
計(jì)算一個(gè)很重要的矩陣 B :
= ( n × n ) = ( ) ( ) ( 是 一 組 正 交 基 )
可以看到我們通過 對(duì) 做正交變換并不會(huì)影響 B 的值,而 正交變換剛好就是對(duì)數(shù)據(jù)做旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)操作的 。
所以如果我們想通過 B 反算出 ,肯定是沒法得到真正的 , 而是它的任意一種正交變換后的結(jié)果。
B中每個(gè)元素的值為:
b i j = ∑ k = 1 x i k x j k
計(jì)算距離矩陣 D ,其中每個(gè)元素值為:
= ( x i ? x j ) 2 = ∑ k = 1 ( x i k ? x j k ) 2 = ∑ k = 1 x 2 i k + x 2 j k ? 2 x i k x j k = b i i + b j j ? 2 b i j \tag{dij_square}\label{dij_square}
這時(shí)候我們有的只有 D ,如果能通過 D 計(jì)算出 B ,再由 B 計(jì)算出 ,不就達(dá)到效果了嗎。
所以思路是:從D->B->X
此時(shí)我們要對(duì)X加一些限制,前面說過我們平移所有點(diǎn)是不會(huì)對(duì)距離矩陣造成影響的,所以我們就把 數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)平移到原點(diǎn) ,對(duì)X做如下限制(去中心化):
∑ i = 1 n x i k = 0 , o r a l l k = 1..
所以有
∑ j = 1 n b i j = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x i k ∑ j = 1 n x j k = 0
類似的
∑ i = 1 n b i j = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x j k ( ∑ i = 1 n x i k ) = 0
可以看到即 B 的任意行(row)之和以及任意列(column)之和都為0了。
設(shè)T為 B
的trace,則有:
∑ i = 1 n 2 i j = ∑ i = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = + n b j j + 0
∑ j = 1 n 2 i j = ∑ j = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = n b i i + + 0
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = 2 n
得到B:根據(jù)公式 我們有:
b i j = ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j )
而(根據(jù)前面算 ∑ n i = 1 2 i j , ∑ n j = 1 2 i j 和 ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 2 i j 的公式可以得到)
b i i b j j 2 n = + 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = + 1 n ∑ i = 1 n 2 i j = 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j
所以
= ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 2 n ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 2 i ? ? 2 ? j + 2 ? ? )
可以看到 2 i ? 是 D 2 行均值; 2 ? j 是列均值; 2 ? ? 是矩陣的均值。
這樣我們就可以通過矩陣 D
得到矩陣 B 了
因?yàn)锽是對(duì)稱的矩陣,所以可以通過特征分解得到:
B = Λ ? 1 = Λ
在最開始我們其實(shí)做了一個(gè)假設(shè), 即 D 是由一個(gè) n × 的數(shù)據(jù)生成的,如果事實(shí)是這樣的, D 會(huì)是一個(gè)對(duì)稱實(shí)矩陣,此時(shí)得到的 B 剛好會(huì)有 個(gè)非0的特征值,也就是說 B 的秩等于 ,如果我們想還原 ,就選擇前 個(gè)特征值和特征向量;如果想要達(dá)到降維的目的,就選擇制定的 p 個(gè)( p < )。
此時(shí)我們選擇前 p
個(gè)特征值和特征向量,(這一步和PCA里面很類似):
B ? = ? Λ ? ? ? ( n × p ) , Λ ? ( p × p )
所以有( Λ 是特征值組成的對(duì)角矩陣):
B ? = ? Λ ? 1 2 ? Λ ? 1 2 ? = ? ?
因此
? = ? Λ ? 1 2
如果選擇 p = 的話,此時(shí)得到的 ? 就是原數(shù)據(jù)去中心化并做了某種正交變換后的值了。
MDS的例子
舉個(gè)例子:拿美國(guó)一些大城市之間的距離作為矩陣傳進(jìn)去,簡(jiǎn)單寫一寫代碼:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def mds(D,q):
D = np.asarray(D)
DSquare = D**2
totalMean = np.mean(DSquare)
columnMean = np.mean(DSquare, axis = 0)
rowMean = np.mean(DSquare, axis = 1)
B = np.zeros(DSquare.shape)
for i in range(B.shape[0]):
for j in range(B.shape[1]):
B[i][j] = -0.5*(DSquare[i][j] - rowMean[i] - columnMean[j]+totalMean)
eigVal,eigVec = np.linalg.eig(B)
X = np.dot(eigVec[:,:q],np.sqrt(np.diag(eigVal[:q])))
return X
D = [[0,587,1212,701,1936,604,748,2139,2182,543],
[587,0,920,940,1745,1188,713,1858,1737,597],
[1212,920,0,879,831,1726,1631,949,1021,1494],
[701,940,879,0,1374,968,1420,1645,1891,1220],
[1936,1745,831,1374,0,2339,2451,347,959,2300],
[604,1188,1726,968,2339,0,1092,2594,2734,923],
[748,713,1631,1420,2451,1092,0,2571,2408,205],
[2139,1858,949,1645,347,2594,2571,0,678,2442],
[2182,1737,1021,1891,959,2734,2408,678,0,2329],
[543,597,1494,1220,2300,923,205,2442,2329,0]]
label = ['Atlanta','Chicago','Denver','Houston','Los Angeles','Miami','New York','San Francisco','Seattle','Washington, DC']
X = mds(D,2)
plt.plot(X[:,0],X[:,1],'o')
for i in range(X.shape[0]):
plt.text(X[i,0]+25,X[i,1]-15,label[i])
plt.show()
最后畫出來的圖中,各個(gè)城市的位置和真實(shí)世界中的相對(duì)位置都差不多:
注意,這個(gè)例子中其實(shí)也有‘流形’在里面,因?yàn)槲覀兊牡厍蚱鋵?shí)是一個(gè)三維,而城市間距離刻畫的是在球面上的距離,所以最后如果你去看求出來的特征值,并不像前面說的那樣只有q個(gè)非0的值。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)
數(shù)據(jù)分析咨詢請(qǐng)掃描二維碼
若不方便掃碼,搜微信號(hào):CDAshujufenxi
LSTM 模型輸入長(zhǎng)度選擇技巧:提升序列建模效能的關(guān)鍵? 在循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)家族中,長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)(LSTM)憑借其解決長(zhǎng)序列 ...
2025-07-11CDA 數(shù)據(jù)分析師報(bào)考條件詳解與準(zhǔn)備指南? ? 在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策的時(shí)代浪潮下,CDA 數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證愈發(fā)受到矚目,成為眾多有志投身數(shù) ...
2025-07-11數(shù)據(jù)透視表中兩列相乘合計(jì)的實(shí)用指南? 在數(shù)據(jù)分析的日常工作中,數(shù)據(jù)透視表憑借其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)匯總和分析功能,成為了 Excel 用戶 ...
2025-07-11尊敬的考生: 您好! 我們誠(chéng)摯通知您,CDA Level I和 Level II考試大綱將于 2025年7月25日 實(shí)施重大更新。 此次更新旨在確保認(rèn) ...
2025-07-10BI 大數(shù)據(jù)分析師:連接數(shù)據(jù)與業(yè)務(wù)的價(jià)值轉(zhuǎn)化者? ? 在大數(shù)據(jù)與商業(yè)智能(Business Intelligence,簡(jiǎn)稱 BI)深度融合的時(shí)代,BI ...
2025-07-10SQL 在預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用:從數(shù)據(jù)查詢到趨勢(shì)預(yù)判? ? 在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策的時(shí)代,預(yù)測(cè)分析作為挖掘數(shù)據(jù)潛在價(jià)值的核心手段,正被廣泛 ...
2025-07-10數(shù)據(jù)查詢結(jié)束后:分析師的收尾工作與價(jià)值深化? ? 在數(shù)據(jù)分析的全流程中,“query end”(查詢結(jié)束)并非工作的終點(diǎn),而是將數(shù) ...
2025-07-10CDA 數(shù)據(jù)分析師考試:從報(bào)考到取證的全攻略? 在數(shù)字經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展的今天,數(shù)據(jù)分析師已成為各行業(yè)爭(zhēng)搶的核心人才,而 CDA(Certi ...
2025-07-09【CDA干貨】單樣本趨勢(shì)性檢驗(yàn):捕捉數(shù)據(jù)背后的時(shí)間軌跡? 在數(shù)據(jù)分析的版圖中,單樣本趨勢(shì)性檢驗(yàn)如同一位耐心的偵探,專注于從單 ...
2025-07-09year_month數(shù)據(jù)類型:時(shí)間維度的精準(zhǔn)切片? ? 在數(shù)據(jù)的世界里,時(shí)間是最不可或缺的維度之一,而year_month數(shù)據(jù)類型就像一把精準(zhǔn) ...
2025-07-09CDA 備考干貨:Python 在數(shù)據(jù)分析中的核心應(yīng)用與實(shí)戰(zhàn)技巧? ? 在 CDA 數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證考試中,Python 作為數(shù)據(jù)處理與分析的核心 ...
2025-07-08SPSS 中的 Mann-Kendall 檢驗(yàn):數(shù)據(jù)趨勢(shì)與突變分析的有力工具? ? ? 在數(shù)據(jù)分析的廣袤領(lǐng)域中,準(zhǔn)確捕捉數(shù)據(jù)的趨勢(shì)變化以及識(shí)別 ...
2025-07-08備戰(zhàn) CDA 數(shù)據(jù)分析師考試:需要多久?如何規(guī)劃? CDA(Certified Data Analyst)數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證作為國(guó)內(nèi)權(quán)威的數(shù)據(jù)分析能力認(rèn)證 ...
2025-07-08LSTM 輸出不確定的成因、影響與應(yīng)對(duì)策略? 長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)(LSTM)作為循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)的一種變體,憑借獨(dú)特的門控機(jī)制,在 ...
2025-07-07統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)中的深度應(yīng)用? 市場(chǎng)調(diào)研是企業(yè)洞察市場(chǎng)動(dòng)態(tài)、了解消費(fèi)者需求的重要途徑,而統(tǒng)計(jì)學(xué)方法則是市場(chǎng)調(diào)研數(shù) ...
2025-07-07CDA數(shù)據(jù)分析師證書考試全攻略? 在數(shù)字化浪潮席卷全球的當(dāng)下,數(shù)據(jù)已成為企業(yè)決策、行業(yè)發(fā)展的核心驅(qū)動(dòng)力,數(shù)據(jù)分析師也因此成為 ...
2025-07-07剖析 CDA 數(shù)據(jù)分析師考試題型:解鎖高效備考與答題策略? CDA(Certified Data Analyst)數(shù)據(jù)分析師考試作為衡量數(shù)據(jù)專業(yè)能力的 ...
2025-07-04SQL Server 字符串截取轉(zhuǎn)日期:解鎖數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵技能? 在數(shù)據(jù)處理與分析工作中,數(shù)據(jù)格式的規(guī)范性是保證后續(xù)分析準(zhǔn)確性的基礎(chǔ) ...
2025-07-04CDA 數(shù)據(jù)分析師視角:從數(shù)據(jù)迷霧中探尋商業(yè)真相? 在數(shù)字化浪潮席卷全球的今天,數(shù)據(jù)已成為企業(yè)決策的核心驅(qū)動(dòng)力,CDA(Certifie ...
2025-07-04CDA 數(shù)據(jù)分析師:開啟數(shù)據(jù)職業(yè)發(fā)展新征程? ? 在數(shù)據(jù)成為核心生產(chǎn)要素的今天,數(shù)據(jù)分析師的職業(yè)價(jià)值愈發(fā)凸顯。CDA(Certified D ...
2025-07-03