如何在SPSS中做數(shù)據(jù)正態(tài)轉(zhuǎn)化

數(shù)據(jù)不完全符合正態(tài)分布，接下來的問題是，很多學(xué)科都在講大樣本不用太考慮正態(tài)分布問題，但事實上由此造成的誤差確實存在，有時還會比較大。那么如何用SPSS做數(shù)據(jù)正態(tài)化轉(zhuǎn)換呢？

嚴(yán)格說來，解決這個問題需要講四個方面：

什么是正態(tài)轉(zhuǎn)換？

為什么做正態(tài)轉(zhuǎn)換？

何時做正態(tài)轉(zhuǎn)化？

如何做正態(tài)轉(zhuǎn)化？

我擔(dān)心如果只講How（如何做），也許有些初學(xué)者不分場合，誤用濫用。但是，我同樣擔(dān)心如果從ABC講起，難免過分啰嗦，甚至有藐視大家的智商之嫌。所幸現(xiàn)在是互聯(lián)網(wǎng)時代，有關(guān)上述What, Why, When問題的答案網(wǎng)上唾手可得。如果對這些問題不甚了了的讀者，強烈建議先到google上用“How to transform data to normal distribution"搜一下（或點擊下面的“前10條”），前10條幾乎每篇都是必讀的經(jīng)典。

有了上述交代，我們可以比較放心地來討論如何做正態(tài)轉(zhuǎn)換的問題了。具體來說，涉及以下幾步：

第一步

查看原始變量的分布形狀及其描述參數(shù)（Skewness和Kurtosis）。這可以用頻率或者描述性統(tǒng)計或者BoxPlot；

第二步

根據(jù)變量的分布形狀，決定是否做轉(zhuǎn)換。這里，主要是看一下兩個問題：

1、左右是否對稱

也就是看Skewness（偏差度）的取值。如果Skewness為0，則是完全對稱（但罕見）；如果Skewness為正值，則說明該變量的分布為positively skewed（正偏態(tài)，見下圖1b）；如果Skewness為負(fù)值，則說明該變量的分布為negatively skewed（負(fù)偏態(tài)，見圖 1a）。然而，肉眼直觀檢查，往往無法判斷偏態(tài)的分布是否與對稱的正態(tài)分布有“顯著”差別，所以需要做顯著性檢驗。如同其它統(tǒng)計顯著性檢驗一樣，Skewness的絕對值如大于其標(biāo)準(zhǔn)誤差的1.96倍，就被認(rèn)為是與正態(tài)分布有顯著差別。如果檢驗結(jié)果顯著，我們也許（注意這里我用的是“也許”一詞）可以通過轉(zhuǎn)換來達到或接近對稱。見注解1的說明。

2、峰態(tài)是否陡緩適度

也就是看Kurtosis（峰態(tài)）是否過分peaked（陡峭）或過分flat（平坦）。如果Kurtosis為0，則說明該變量分布的峰態(tài)正合適，不胖也不瘦（但罕見）；如果Kurtosis為正值，則說明該變量的分布峰態(tài)太陡峭（瘦高個，見圖2b）；反之，如果Kurtosis為負(fù)值，該變量的分布峰態(tài)太平緩（矮胖子，見圖2a）。峰態(tài)是否適度，更難直觀看出，也需要通過顯著檢驗。如同Skewness一樣，Kurtosis的絕對值如果大于其標(biāo)準(zhǔn)誤差的1.96倍，就被認(rèn)為與正態(tài)分布有顯著差別。這時，我們也許可以通過轉(zhuǎn)換來達到或接近正態(tài)分布（峰態(tài)）。

第三步

如果需要做正態(tài)化轉(zhuǎn)換，還是根據(jù)變量的分布形狀，確定相應(yīng)的轉(zhuǎn)換公式。最常見的情況是正偏態(tài)加上陡峰態(tài)。

1、如果是中度偏態(tài)

如Skewness為其標(biāo)準(zhǔn)誤差的2-3倍，可以考慮取根號值來轉(zhuǎn)換，以下是SPSS的指令（其中"nx"是原始變量x的轉(zhuǎn)換值，參見注2）：

COMPUTE nx=SQRT（x）

2、如果高度偏態(tài)

如Skewness為其標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍以上，則可以取對數(shù)，其中又可分為自然對數(shù)和以10為基數(shù)的對數(shù)。以下是轉(zhuǎn)換自然對數(shù)的指令（注2）：

COMPUTE nx=LN（x）

以下是轉(zhuǎn)換成以10為基數(shù)的對數(shù)（其糾偏力度最強，有時會矯枉過正，將正偏態(tài)轉(zhuǎn)換成負(fù)偏態(tài)，注2）：

COMPUTE nx=LG10（x）

上述公式只能減輕或消除變量的正偏態(tài)(positive skewed)，但如果不分青紅皂白（即不仔細(xì)操作第一和第二步）地用于負(fù)偏態(tài)（negative skewed）的變量，則會使負(fù)偏態(tài)變得更加嚴(yán)重。如果第一步顯示了負(fù)偏態(tài)的分布，則需要先對原始變量做reflection（反向轉(zhuǎn)換），即將所有的值反過來，如將最大值變成最小值、最小值變成最大值、等等。如果一個變量的取值不多，可用如下指令來反轉(zhuǎn)：

RECODE x（1=7）（2=6）（3=5）（5=3）（6=2）（7=1）

如果變量的取值很多或有小數(shù)、分?jǐn)?shù)，上述方法幾乎不可能，則需要寫如下的指令（不知大家現(xiàn)在是否信服了為什么要學(xué)syntax嗎？）：

COMPUTE nx=max-x+1， 其中max是x的最大值。

第四步

回到第一步，再次檢驗轉(zhuǎn)換后變量的分布形狀。如果沒有解決問題，或者甚至惡化（如上述的從正偏態(tài)轉(zhuǎn)成負(fù)偏態(tài)），需要再從第二或第三步重新做起，然后再回到第一步的檢驗，等等，直至達到比較令人滿意的結(jié)果（見注3）。

數(shù)據(jù)正態(tài)化的特別注解

1、如同其它統(tǒng)計檢驗量一樣，Skewness和Kurtosis的的標(biāo)準(zhǔn)誤差也與樣本量直接有關(guān)。具體說來，Skewness的標(biāo)準(zhǔn)誤差約等于6除以n后的開方（根號喜下6/n），而Kurtosis的標(biāo)準(zhǔn)誤差約等于24除以n后的開方（根號下24/n），其中n均為樣本量。由此可見，樣本量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，因此同樣大小的Skewness和Kurtosis在大樣本中越可能與正態(tài)分布有顯著差別。這也許就是SW在問題中提到的“很多學(xué)科都在講大樣本不用太考慮正態(tài)分布問題”的由來。我的看法是，如果小樣本的Skewness和Kurtosis是顯著的話，一定要轉(zhuǎn)換；在大樣本的條件下，如果Skewness和Kurtosis是輕度偏差，也許不需要轉(zhuǎn)換，但如果嚴(yán)重偏差，也是要轉(zhuǎn)換。

2、大家知道，根號里的x不能為負(fù)數(shù)，對數(shù)或倒數(shù)里的x不能為非正數(shù)（即等于或小于0）。如果你的x中有是負(fù)數(shù)或非正數(shù)，需要將其做線性轉(zhuǎn)換成非負(fù)數(shù)（即等于或大于0）或正數(shù)（大于0），如 COMPUTE nx = SQRT (x - min) 或 COMPUTE nx = LN (x - min + 1)，其中的min是x的最小值（為一個非正數(shù)）。

3、不是任何分布形態(tài)的變量都可以轉(zhuǎn)換的。例外之一是“雙峰”或“多峰”分布（distribution with dual or multiple modality），沒有任何公式可以將之轉(zhuǎn)換成單峰的正態(tài)分布。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)