數(shù)值變量正態(tài)性檢驗(yàn)常用方法的對(duì)比及SPSS&R實(shí)現(xiàn)

一、方法概述

正態(tài)分布又叫高斯分布，“正態(tài)”即“正常的狀態(tài)”，本意是說如果在觀察或試驗(yàn)中不出現(xiàn)重大的失誤，則結(jié)果應(yīng)遵循這種模式的分布——盡管隨著人們實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累發(fā)現(xiàn)事實(shí)并非如此。正態(tài)分布之所以得到普遍重視，除了它可以用來刻畫數(shù)值變量的分布特征外，另一個(gè)重要原因要?dú)w功于Fisher及其同時(shí)代的若干杰出學(xué)者。他們對(duì)正態(tài)總體下一系列重要的統(tǒng)計(jì)量建立了形式簡(jiǎn)約且在計(jì)算上可行的小樣本理論，為統(tǒng)計(jì)推斷提供了極大的方便，而在非正態(tài)的情況下則沒有可比擬的結(jié)果[1,2]?；诖?，人們?cè)趯?shí)際統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，總是樂于采用正態(tài)假定。人們?cè)趯?duì)一個(gè)數(shù)值變量進(jìn)行分析之前，可以參照既往基于大樣本所推測(cè)的變量分布形式，確定正態(tài)性假定的合理性。然而，有時(shí)既往文獻(xiàn)中沒有基于大樣本的變量分布形式定論，致使研究者對(duì)正態(tài)性假定是否合理無充分的把握。這時(shí)就需要使用實(shí)際的觀測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)施正態(tài)性檢驗(yàn)。

二、軟件實(shí)現(xiàn)

統(tǒng)計(jì)分析包括統(tǒng)計(jì)描述和統(tǒng)計(jì)推斷[1]，正態(tài)性的分析主要包括統(tǒng)計(jì)圖繪制，及統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的計(jì)算與檢驗(yàn)兩種方法。利用統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地呈現(xiàn)變量的分布，同時(shí)還可以呈現(xiàn)出經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布的差距。峰度、偏度就是兩個(gè)常用的正態(tài)性描述統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，通過構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量還能實(shí)現(xiàn)正態(tài)性檢驗(yàn)，Shapiro-Wilk檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov、偏度峰度聯(lián)合檢驗(yàn)（Jarque–Bera檢驗(yàn)）、GramerVon-Mises檢驗(yàn)等均是通過構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)樣本進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。具體見表1。

如表1所示，直方圖、莖葉圖和箱式圖為主觀的基于統(tǒng)計(jì)圖的正態(tài)性描述方法，而統(tǒng)計(jì)描述指標(biāo)峰度檢驗(yàn)和偏度檢驗(yàn)可以被認(rèn)為是一種客觀的數(shù)值計(jì)算的正態(tài)性檢驗(yàn)方法。基于統(tǒng)計(jì)推斷的概率圖、P-P圖、Q-Q圖為客觀的圖表判斷的正態(tài)性檢驗(yàn)方法，而基于數(shù)值計(jì)算的常用的統(tǒng)計(jì)軟件，如SAS，SPSS,R,STATA均有相關(guān)命令或者過程步基于樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)，表2給出了常見的四種統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)上述正態(tài)性檢驗(yàn)方法的命令語句，以及各種方法使用過程中對(duì)樣本量的要求。

三、方法選擇流程圖

下圖是正態(tài)性檢驗(yàn)的方法選擇的流程圖，大家可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)情況選擇不同的方法。

四、SPSS中正態(tài)性檢驗(yàn)操作演示

下面我們來看一組數(shù)據(jù)，并檢驗(yàn)“期初平均分” 數(shù)據(jù)是否呈正態(tài)分布（此數(shù)據(jù)已在SPSS里輸入好）：

在SPSS里執(zhí)行“分析—>描述統(tǒng)計(jì)—>頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表”(菜單見下圖，英文版的可以找到相應(yīng)位置)，然后彈出左邊的對(duì)話框，變量選擇左邊的“期初平均分”，再點(diǎn)下面的“圖表”按鈕，彈出圖中右邊的對(duì)話框，選擇“直方圖”，并選中“包括正態(tài)曲線”。

設(shè)置完后點(diǎn)“確定”，就后會(huì)出來一系列結(jié)果，包括2個(gè)表格和一個(gè)圖，我們先來看看最下面的圖，見下圖，

上圖中橫坐標(biāo)為期初平均分，縱坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的頻數(shù)。從圖中可以看出根據(jù)直方圖繪出的曲線是很像正態(tài)分布曲線。如何證明這些數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布呢，光看曲線還不夠，還需要檢驗(yàn)：

檢驗(yàn)方法一：看偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

我們把SPSS結(jié)果最上面的一個(gè)表格拿出來看看(見下圖)：

偏度系數(shù)Skewness=-0.333;峰度系數(shù)Kurtosis=0.886；兩個(gè)系數(shù)都小于1，可認(rèn)為近似于正態(tài)分布。

檢驗(yàn)方法二：?jiǎn)蝹€(gè)樣本K-S檢驗(yàn)

在SPSS里執(zhí)行“分析—>非參數(shù)檢驗(yàn)—>單個(gè)樣本K-S檢驗(yàn)，彈出對(duì)話框，檢驗(yàn)變量選擇“期初平均分”，檢驗(yàn)分布選擇“正態(tài)分布”，然后點(diǎn)“確定”。

檢驗(yàn)結(jié)果為：

從結(jié)果可以看出，K-S檢驗(yàn)中,Z值為0.493，P值(sig 2-tailed)=0.968>0.05，因此數(shù)據(jù)呈近似正態(tài)分布

檢驗(yàn)方法三：Q-Q圖檢驗(yàn)

在SPSS里執(zhí)行“圖表—>Q-Q圖”，彈出對(duì)話框，見下圖：

變量選擇“期初平均分”，檢驗(yàn)分布選擇“正態(tài)”，其他選擇默認(rèn)，然后點(diǎn)“確定”，最后可以得到Q-Q圖檢驗(yàn)結(jié)果，結(jié)果很多，我們只需要看最后一個(gè)圖，見下圖。

QQ Plot中，各點(diǎn)近似圍繞著直線，說明數(shù)據(jù)呈近似正態(tài)分布。

五、R：正態(tài)性檢驗(yàn)

（1）QQ概率圖

功能和原理：檢驗(yàn)樣本的概率分布是否服從某種理論分布。PP概率圖的原理是檢驗(yàn)實(shí)際累積概率分布與理論累積概率分布是否吻合，若吻合，則散點(diǎn)應(yīng)圍繞 在一條直線周圍，或者實(shí)際概率與理論概率之差分布在對(duì)稱于以0為水平軸的帶內(nèi)。QQ概率圖的原理是檢驗(yàn)實(shí)際分位數(shù)與理論分位數(shù)之差分布是否吻合，若吻合，則散點(diǎn)應(yīng)圍繞在一條直線周圍，或者實(shí)際分位數(shù)與理論分位數(shù)之差分布在對(duì)稱于以0為水平軸的帶內(nèi)。QQ概率圖以樣本的分位數(shù)為橫軸，以指定理論分布的分位數(shù)為縱軸繪制散點(diǎn)圖。

> library(DAAG)
> data(possum)
> attach(possum)
The following object(s) are masked from 'possum (position 12)':

age, belly, case, chest, earconch, eye, footlgth, hdlngth, Pop,
   sex, site, skullw, taill, totlngth
> fpossum <- possum[possum$sex=="f",]
> mean = mean(totlngth)
> sd = sd(totlngth)
> x <- sort(totlngth)
> n <- length(x)
> y <- (1:n)/n
>
> plot(x,y,
+       type = 's',
+       main = "Empirical CDF of ")
> curve(pnorm(x, mean, sd),
+       col = 'red',
+       lwd = 2,
+       add = T）

圖形表示，數(shù)據(jù)與正態(tài)性略有差異，特別是中部區(qū)域。

（2）與正態(tài)密度函數(shù)直接比較

> library(DAAG)
> data(possum)
> attach(possum)
The following object(s) are masked from 'possum (position 13)':

age, belly, case, chest, earconch, eye, footlgth, hdlngth, Pop,
   sex, site, skullw, taill, totlngth
> fpossum <- possum[possum$sex=="f",]
> dens <- density(totlngth)
> xlim <- range(dens$x)
> ylim <- range(dens$y)
> mean = mean(totlngth)
> sd = sd(totlngth)
> par(mfrow=c(1,2))
>
> hist(totlngth,
+       breaks=72.5+(0:5)*5,
+       xlim = xlim ,
+       ylim = ylim ,
+       probability = T ,
+       xlab = "total length",
+       main = "A:Breaks at 72.5...")
> lines(dens,
+       col = par('fg'),
+       lty = 2)
> curve( dnorm(x, mean, sd),
+         col = 'red',
+         add = T)
>        
> hist(totlngth,
+       breaks = 75 + (0:5) * 5 ,
+       xlim = xlim,
+       ylim = ylim,
+       probability = T,
+       xlab="total length",
+       main = "B:Breaks at 75")
> lines(dens,
+       col = par('fg'),
+       lty = 2)
> curve(dnorm(x,mean,sd),
+       col = 'red',
+       add = T)

看圖直接看和正態(tài)密度函數(shù)的差異度。

（3）使用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，直接比較數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和正態(tài)分布的分布函數(shù)對(duì)比。

> library(DAAG)
> data(possum)
> attach(possum)
The following object(s) are masked from 'possum (position 14)':

age, belly, case, chest, earconch, eye, footlgth, hdlngth, Pop,
   sex, site, skullw, taill, totlngth
> fpossum <- possum[possum$sex=="f",]
> mean = mean(totlngth)
> sd = sd(totlngth)
> x <- sort(totlngth)
> n <- length(x)
> y <- (1:n)/n
>
> plot(x,y,
+       type = 's',
+       main = "Empirical CDF of ")
> curve(pnorm(x, mean, sd),
+       col = 'red',
+       lwd = 2,
+       add = T)

總體來說，數(shù)據(jù)并不完全服從正態(tài)分布，需要做進(jìn)一步檢驗(yàn)，看和正態(tài)分布的差距多大，是否在接受范圍之內(nèi)？