基本描述數(shù)據(jù)匯總的圖形顯示

除了在大部分統(tǒng)計或圖形數(shù)據(jù)表示軟件包中使用的條形圖、餅圖和線圖之外，還有一些常用的圖用于顯示數(shù)據(jù)匯總和分布，包括直方圖、分位數(shù)圖、q-q圖、散布圖和局部回歸（loess）曲線。對于數(shù)據(jù)的直觀觀察，這些圖是非常有幫助的。

畫直方圖（或頻率直方圖）是一種概括給定屬性分布的圖形方法。屬性A的直方圖將A的數(shù)據(jù)分布劃分成不相交的子集或桶。通常，每個桶的寬度是一致的。每個桶用一個矩形表示，其高度等于桶中的值計數(shù)或相對頻率。如果A是分類的，如車型或商品類型，則對A的每個已知值畫一個矩形，而結果圖更多地稱作條形圖。如果A是數(shù)值的，更多地使用術語直方圖。對于數(shù)值屬性，構造直方圖的劃分規(guī)則在2.5.4節(jié)討論。例如，在等寬的直方圖中，每個桶代表數(shù)值屬性A的等寬值域。

表2-1 AllElectronics的一個分店銷售的商品單價數(shù)據(jù)集

圖2-4顯示表2-1中數(shù)據(jù)的直方圖，其中，桶定義成等寬的，代表增量20美元，而頻率是商品的銷售數(shù)量。直方圖至少有一個世紀了，是一種廣泛使用的單變量圖形方法。然而，對于比較單變量觀測組，它可能不如分位數(shù)圖、q-q圖和盒圖方法有效。

 
圖2-4 表2-1中數(shù)據(jù)集的直方圖

分位數(shù)圖（quantile plot）是一種觀察單變量數(shù)據(jù)分布的簡單有效方法。首先，它顯示給定屬性的所有數(shù)據(jù)（允許用戶評估總的情況和不尋常的出現(xiàn)）。其次，它繪出了分位數(shù)信息。

這一步使用的機制與2.2.2節(jié)討論的百分位數(shù)計算稍微有點不同。設xi (i = 1, ., N)是按遞增序排序的數(shù)據(jù)，使得x1是最小的觀測值，而xN是最大的。每個觀測值xi與一個百分數(shù)fi配對，指出大約100fi%的數(shù)據(jù)小于或等于xi。我們說“大約”，因為可能沒有一個精確的小數(shù)值fi，使得數(shù)據(jù)的fi%小于或等于xi。注意，0.25分位數(shù)對應于四分位數(shù)Q1，0.50分位數(shù)對應于中位數(shù)，而0.75分位數(shù)對應于Q3。令

這些數(shù)由1/2N（稍大于0）到1－1/2N（稍小于1），以相同的步長1/N遞增。在分位數(shù)圖中，xi 對著fi畫出。這使得我們可以基于分位數(shù)比較不同的分布。例如，給定兩個不同時間段銷售數(shù)據(jù)的分位數(shù)圖，我們一眼就可以比較它們的Q1，中位數(shù)，Q3，以及其他fi值。圖2-5顯示了表2-1單價數(shù)據(jù)的分位數(shù)圖。

 
圖2-5 表2-1單價數(shù)據(jù)的分位數(shù)圖

分位數(shù)-分位數(shù)圖或q-q圖對著另一個對應的分位數(shù)，繪制一個單變量分布的分位數(shù)。它是一種強有力的可視化工具，使得用戶可以觀察從一個分布到另一個是否有移位。

假定對于變量單價有兩個觀測集，取自兩個不同的分店。設x1, ., xN是取自第一個分店的數(shù)據(jù)，y1, ., yM是取自第二個分店的數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)都按遞增序排序。如果M = N（即每個集合中的點數(shù)相等），則我們簡單地對著xi畫yi，其中yi和xi都是各自數(shù)據(jù)集的第(i－0.5) / N個分位數(shù)。如果M < N（即第二個分店的觀測值比第一個少），則可能只有M個點在q-q圖中。這里，yi是y數(shù)據(jù)的第(i－0.5) / M個分位數(shù)，對著x數(shù)據(jù)的第(i－0.5) / M個分位數(shù)畫。在典型情況下，該計算涉及插值。

圖2-6顯示在給定的時間段，AllElectronics的兩個不同分店銷售的商品單價數(shù)據(jù)的分位數(shù)分位數(shù)圖。每個點對應于每個數(shù)據(jù)集的相同的分位數(shù)，并顯示分店1與分店2相對的銷售商品單價。例如，左下角的最低點對應于分位數(shù)0.03。（為幫助比較，我們也畫了一條直線，代表對于給定的分位數(shù)，兩個分店的單價相同的情況。此外，加黑的點分別對應于Q1、中位數(shù)和Q3。）我們看到，在分位數(shù)0.03，分店1銷售的商品單價比分店2稍低。換言之，在分店1銷售
的商品3%低于或等于40美元，而在分店2銷售的商品3%低于或等于42美元。在最高分位數(shù)，我們看到分店2的商品單價稍微低于分店1。一般地，我們注意到分店1的分布相對于分店2有一個移位，分店1銷售的商品單價趨向于比分店2低。

散布圖（scatter plot）是確定兩個數(shù)值屬性之間看上去是否有聯(lián)系、模式或趨勢的最有效的圖形方法之一。為構造散布圖，每個值對視為一個代數(shù)坐標對，并作為一個點畫在平面上。圖2-7 顯示表2-1中數(shù)據(jù)集的散布圖。散布圖是一種觀察雙變量數(shù)據(jù)有用的方法，用于觀察點的簇和離群點，或考察相關聯(lián)系的可能性。在圖2-8中，我們看到兩個不同數(shù)據(jù)集中兩個屬性之間的正相關和負相關的例子。圖2-9顯示了三種情況，每個數(shù)據(jù)集的兩個屬性之間都不存在相關聯(lián)系。

 
圖2-6 兩個不同分店的單價數(shù)據(jù)的分位數(shù)-分位數(shù)圖

 
圖2-7 表2-1中數(shù)據(jù)的散布圖

 
圖2-8 散布圖可以用來發(fā)現(xiàn)屬性之間的a）正相關或b）負相關

 
圖2-9 三種情況，其中每個數(shù)據(jù)集中兩個屬性之間都不存在觀察到的相關

 
圖2-10 表2-1中數(shù)據(jù)集的loess曲線

在處理多個屬性時，散布圖矩陣（scatter-plot matrix）是散布圖的一種有用的擴充。給定n個屬性，散布圖矩陣是散布圖的n×n柵格，提供每個屬性（或維）與每個其他屬性的可視化表示。隨著所研究的屬性數(shù)量增加，散布圖的有效性降低。在這種情況下，用必要進行諸如放大（zooming）和搖動（panning）等用戶交互操作，幫助有效地解釋單個散布圖。

loess曲線是另一種重要的圖形探查工具，它添加一條光滑曲線到散布圖，以便更好地理解依賴模式。loess一詞是“局部回歸”（local regression）的縮寫。圖2-10顯示表2-1中數(shù)據(jù)集的loess曲線。

為了擬合loess曲線，需要設置兩個參數(shù)—光滑參數(shù)α，被回歸擬合的多項式的次數(shù)λ。α可以是正數(shù)（典型值在1/4～1之間），而λ可以是1或2。選擇α的目的是產(chǎn)生一個擬合，它盡59 ~可能光滑，而不過分破壞數(shù)據(jù)中潛在的模式。曲線隨α增大而變得更光滑。然而，可能出現(xiàn)擬60 合不足，表明可能“丟失”數(shù)據(jù)模式。如果α太小，跟蹤了潛在的模式，但可能過分擬合數(shù)據(jù)，曲線中的局部“擺動”可能不被數(shù)據(jù)支持。如果數(shù)據(jù)的潛在模式具有“溫和的”曲率，而沒有局部極大和極小，則局部線性擬合通常就足夠了（λ = 1）。然而，如果存在局部極大和極小，則二次擬合（λ = 2）一般做得更好，它遵循數(shù)據(jù)模式并且保持局部光滑性。

總而言之，描述性數(shù)據(jù)匯總提供了數(shù)據(jù)總體行為的有價值的洞察。通過幫助識別噪聲和離群點，它們對于數(shù)據(jù)清理特別有用。