數(shù)據(jù)挖掘系列關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘基本概念與Aprior算法

關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘在電商、零售、大氣物理、生物醫(yī)學(xué)已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，本篇文章將介紹一些基本知識和Aprori算法。

啤酒與尿布的故事已經(jīng)成為了關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的經(jīng)典案例，還有人專門出了一本書《啤酒與尿布》，雖然說這個故事是哈弗商學(xué)院杜撰出來的，但確實能很好的解釋關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的原理。我們這里以一個超市購物籃迷你數(shù)據(jù)集來解釋關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的基本概念：

表中的每一行代表一次購買清單（注意你購買十盒牛奶也只計一次，即只記錄某個商品的出現(xiàn)與否）。數(shù)據(jù)記錄的所有項的集合稱為總項集，上表中的總項集S={牛奶,面包,尿布,啤酒,雞蛋,可樂}。

一、關(guān)聯(lián)規(guī)則、自信度、自持度的定義

關(guān)聯(lián)規(guī)則就是有關(guān)聯(lián)的規(guī)則，形式是這樣定義的：兩個不相交的非空集合X、Y，如果有X-->Y，就說X-->Y是一條關(guān)聯(lián)規(guī)則。舉個例子，在上面的表中，我們發(fā)現(xiàn)購買啤酒就一定會購買尿布，{啤酒}-->{尿布}就是一條關(guān)聯(lián)規(guī)則。關(guān)聯(lián)規(guī)則的強度用支持度(support)和自信度(confidence)來描述，

支持度的定義：support(X-->Y) = |X交Y|/N=集合X與集合Y中的項在一條記錄中同時出現(xiàn)的次數(shù)/數(shù)據(jù)記錄的個數(shù)。例如：support({啤酒}-->{尿布}) = 啤酒和尿布同時出現(xiàn)的次數(shù)/數(shù)據(jù)記錄數(shù) = 3/5=60%。

自信度的定義：confidence(X-->Y) = |X交Y|/|X| = 集合X與集合Y中的項在一條記錄中同時出現(xiàn)的次數(shù)/集合X出現(xiàn)的個數(shù) 。例如：confidence({啤酒}-->{尿布}) = 啤酒和尿布同時出現(xiàn)的次數(shù)/啤酒出現(xiàn)的次數(shù)=3/3=100%;confidence({尿布}-->{啤酒}) = 啤酒和尿布同時出現(xiàn)的次數(shù)/尿布出現(xiàn)的次數(shù) = 3/4 = 75%。

這里定義的支持度和自信度都是相對的支持度和自信度，不是絕對支持度，絕對支持度abs_support = 數(shù)據(jù)記錄數(shù)N*support。

支持度和自信度越高，說明規(guī)則越強，關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘就是挖掘出滿足一定強度的規(guī)則。

二、關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的定義與步驟

關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘的定義：給定一個交易數(shù)據(jù)集T，找出其中所有支持度support >= min_support、自信度confidence >= min_confidence的關(guān)聯(lián)規(guī)則。

有一個簡單而粗魯?shù)姆椒梢哉页鏊枰囊?guī)則，那就是窮舉項集的所有組合，并測試每個組合是否滿足條件，一個元素個數(shù)為n的項集的組合個數(shù)為2^n-1(除去空集)，所需要的時間復(fù)雜度明顯為O(2^N)，對于普通的超市，其商品的項集數(shù)也在1萬以上，用指數(shù)時間復(fù)雜度的算法不能在可接受的時間內(nèi)解決問題。怎樣快速挖出滿足條件的關(guān)聯(lián)規(guī)則是關(guān)聯(lián)挖掘的需要解決的主要問題。

仔細想一下，我們會發(fā)現(xiàn)對于{啤酒-->尿布}，{尿布-->啤酒}這兩個規(guī)則的支持度實際上只需要計算{尿布，啤酒}的支持度，即它們交集的支持度。于是我們把關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘分兩步進行：

1）生成頻繁項集

這一階段找出所有滿足最小支持度的項集，找出的這些項集稱為頻繁項集。

2）生成規(guī)則

在上一步產(chǎn)生的頻繁項集的基礎(chǔ)上生成滿足最小自信度的規(guī)則，產(chǎn)生的規(guī)則稱為強規(guī)則。

關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘所花費的時間主要是在生成頻繁項集上，因為找出的頻繁項集往往不會很多，利用頻繁項集生成規(guī)則也就不會花太多的時間，而生成頻繁項集需要測試很多的備選項集，如果不加優(yōu)化，所需的時間是O(2^N)。

三、Apriori定律

為了減少頻繁項集的生成時間，我們應(yīng)該盡早的消除一些完全不可能是頻繁項集的集合，Apriori的兩條定律就是干這事的。

Apriori定律1)：如果一個集合是頻繁項集，則它的所有子集都是頻繁項集。舉例：假設(shè)一個集合{A,B}是頻繁項集，即A、B同時出現(xiàn)在一條記錄的次數(shù)大于等于最小支持度min_support，則它的子集{A},{B}出現(xiàn)次數(shù)必定大于等于min_support，即它的子集都是頻繁項集。

Apriori定律2)：如果一個集合不是頻繁項集，則它的所有超集都不是頻繁項集。舉例：假設(shè)集合{A}不是頻繁項集，即A出現(xiàn)的次數(shù)小于min_support，則它的任何超集如{A,B}出現(xiàn)的次數(shù)必定小于min_support，因此其超集必定也不是頻繁項集。

利用這兩條定律，我們拋掉很多的候選項集，Apriori算法就是利用這兩個定理來實現(xiàn)快速挖掘頻繁項集的。

四、Apriori算法

Apriori是由a priori合并而來的，它的意思是后面的是在前面的基礎(chǔ)上推出來的，即先驗推導(dǎo)，怎么個先驗法，其實就是二級頻繁項集是在一級頻繁項集的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，三級頻繁項集是在二級頻繁項集的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，以此類推。

Apriori算法屬于候選消除算法，是一個生成候選集、消除不滿足條件的候選集、并不斷循環(huán)直到不再產(chǎn)生候選集的過程。

上面的圖演示了Apriori算法的過程，注意看由二級頻繁項集生成三級候選項集時，沒有{牛奶,面包,啤酒}，那是因為{面包,啤酒}不是二級頻繁項集，這里利用了Apriori定理。最后生成三級頻繁項集后，沒有更高一級的候選項集，因此整個算法結(jié)束，{牛奶,面包,尿布}是最大頻繁子集。

算法的思想知道了，這里也就不上偽代碼了，我認(rèn)為理解了算法的思想后，子集去構(gòu)思實現(xiàn)才能理解更深刻，這里貼一下我的關(guān)鍵代碼：

如果想看完整的代碼，可以查看我的github，數(shù)據(jù)集的格式跟本文所述的略有不通，但不影響對算法的理解。