邏輯回歸算法的原理及實(shí)現(xiàn)(LR)

邏輯回歸(Logistic Regression, LR)又稱為邏輯回歸分析，是分類和預(yù)測(cè)算法中的一種。通過(guò)歷史數(shù)據(jù)的表現(xiàn)對(duì)未來(lái)結(jié)果發(fā)生的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，我們可以將購(gòu)買的概率設(shè)置為因變量，將用戶的特征屬性，例如性別，年齡，注冊(cè)時(shí)間等設(shè)置為自變量。根據(jù)特征屬性預(yù)測(cè)購(gòu)買的概率。邏輯回歸與回歸分析有很多相似之處，在開始介紹邏輯回歸之前我們先來(lái)看下回歸分析。

回歸分析用來(lái)描述自變量x和因變量Y之間的關(guān)系，或者說(shuō)自變量X對(duì)因變量Y的影響程度，并對(duì)因變量Y進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中因變量是我們希望獲得的結(jié)果，自變量是影響結(jié)果的潛在因素，自變量可以有一個(gè)，也可以有多個(gè)。一個(gè)自變量的叫做一元回歸分析，超過(guò)一個(gè)自變量的叫做多元回歸分析。下面是一組廣告費(fèi)用和曝光次數(shù)的數(shù)據(jù)，費(fèi)用和曝光次數(shù)一一對(duì)應(yīng)。其中曝光次數(shù)是我們希望知道的結(jié)果，費(fèi)用是影響曝光次數(shù)的因素，我們將費(fèi)用設(shè)置為自變量X，將曝光次數(shù)設(shè)置為因變量Y，通過(guò)一元線性回歸方程和判定系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)費(fèi)用(X)對(duì)曝光次數(shù)(Y)的影響。

以下為一元回歸線性方式，其中y是因變量，X是自變量，我們只需求出截距b0和斜率b1就可以獲得費(fèi)用和曝光次數(shù)之間的關(guān)系，并對(duì)曝光次數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。這里我們使用最小二乘法來(lái)計(jì)算截距b0和斜率b1。最小二乘法通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。

下表中是使用最小二乘法計(jì)算回歸方程的一些必要的計(jì)算過(guò)程。在表中最左側(cè)的兩列分別為自變量X和因變量Y，我們首先計(jì)算出自變量和因變量的均值，然后計(jì)算每一個(gè)觀測(cè)值與均值的差，以及用于計(jì)算回歸方程斜率b1所需的數(shù)據(jù)。

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)按公式計(jì)算出了回歸方程的斜率b1，計(jì)算過(guò)程如下。斜率表示了自變量和因變量間的關(guān)系，斜率為正表示自變量和因變量正相關(guān)，斜率為負(fù)表示自變量和因變量負(fù)相關(guān)，斜率為0表示自變量和因變量不相關(guān)。

求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y軸的截距b0。

將斜率b1和截距b0代入到回歸方程中，通過(guò)這個(gè)方程我們可以獲得自變量和因變量的關(guān)系，費(fèi)用每增加1元，曝光次數(shù)會(huì)增長(zhǎng)7437次。以下為回歸方程和圖示。

在回歸方程的圖示中，還有一個(gè)R平方，這個(gè)值叫做判定系數(shù)，用來(lái)衡量回歸方程是否很好的擬合了樣本的數(shù)據(jù)。判定系數(shù)在0-1之間，值越大說(shuō)明擬合的越好，換句話說(shuō)就是自變量對(duì)因變量的解釋度越高。判定系數(shù)的計(jì)算公式為SST=SSR+SSE，其中SST是總平方和，SSR是回歸平方和，SSE是誤差平方和。下表為計(jì)算判定系數(shù)所需三個(gè)指標(biāo)的一些必要的計(jì)算過(guò)程。

根據(jù)前面求得的回歸平方和(SSR)和總平方和(SST)求得判定系數(shù)為0.94344。

以上為回歸方程的計(jì)算過(guò)程，在根據(jù)費(fèi)用預(yù)測(cè)曝光數(shù)量的場(chǎng)景下，我們可以通過(guò)回歸方程在已知費(fèi)用的情況下計(jì)算出曝光數(shù)量。邏輯回歸與回歸方程相比在線性回歸的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)邏輯函數(shù)。例如通過(guò)用戶的屬性和特征來(lái)判斷用戶最終是否會(huì)進(jìn)行購(gòu)買。其中購(gòu)買的概率是因變量Y，用戶的屬性和特征是自變量X。Y值越大說(shuō)明用戶購(gòu)買的概率越大。這里我們使用事件發(fā)生的可能性（odds）來(lái)表示購(gòu)買與未購(gòu)買的比值。

使用E作為購(gòu)買事件，P(E)是購(gòu)買的概率，P(E’)是未購(gòu)買的概率，Odds(E)是事件E(購(gòu)買)發(fā)生的可能性。

Odds是一個(gè)從0到無(wú)窮的數(shù)字，Odds的值越大，表明事件發(fā)生的可能性越大。下面我們要將Odds轉(zhuǎn)化為0-1之間的概率函數(shù)。首先對(duì)Odds取自然對(duì)數(shù)，得到logit方程，logit是一個(gè)范圍在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的值。

基于上面的logit方程，獲得以下公式：

其中使用π替換了公式中的P(E),π=P(E)。根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)規(guī)則獲得以下公式：

并最終獲得邏輯回歸方程：

下面根據(jù)邏輯回歸方程來(lái)計(jì)算用戶購(gòu)買的概率，下表是用戶注冊(cè)天數(shù)和是否購(gòu)買的數(shù)據(jù)，其中注冊(cè)天數(shù)是自變量X，是否購(gòu)買是自變量Y。我們將購(gòu)買標(biāo)記為1，將未購(gòu)買標(biāo)記為0。接下來(lái)我們將在Excel中通過(guò)8個(gè)步驟計(jì)算出邏輯回歸方程的斜率和截距。并通過(guò)方程預(yù)測(cè)新用戶是否會(huì)購(gòu)買。

第一步，使用Excel的排序功能對(duì)原始數(shù)據(jù)按因變量Y進(jìn)行排序，將已購(gòu)買和未購(gòu)買的數(shù)據(jù)分開，使得數(shù)據(jù)特征更加明顯。

第二步，按照Logit方程預(yù)設(shè)斜率b1和截距b0的值，這里我們將兩個(gè)值都預(yù)設(shè)為0.1。后續(xù)再通過(guò)Excel求最優(yōu)解。

第三步，按照l(shuí)ogit方程，使用之前預(yù)設(shè)的斜率和截距值計(jì)算出L值。

第四步，將L值取自然對(duì)數(shù)，

第五步，計(jì)算P(X)的值，P(X)為事件發(fā)生的可能性(Odds)。具體的計(jì)算步驟和過(guò)程見(jiàn)下圖。

第六步，計(jì)算每個(gè)值的對(duì)數(shù)似然函數(shù)估計(jì)值（Log-Likelihood）。方法和過(guò)程見(jiàn)下圖。

第七步，將對(duì)數(shù)似然函數(shù)值進(jìn)行匯總。

第八步，使用Excel的規(guī)劃求解功能，計(jì)算最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)值。方法和過(guò)程見(jiàn)下圖。設(shè)置匯總的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值LL為最大化的目標(biāo)，預(yù)設(shè)的斜率b1和截距b0是可變單元格，取消”使無(wú)約束變量為非負(fù)數(shù)”的選項(xiàng)。進(jìn)行求解。

Excel將自動(dòng)求出邏輯回歸方程中斜率和截距的最優(yōu)解，結(jié)果如下圖所示。

求得邏輯回歸方程的斜率和截距以后，我們可以將值代入方程，獲得一個(gè)注冊(cè)天數(shù)與購(gòu)買概率的預(yù)測(cè)模型，通過(guò)這個(gè)模型我們可以對(duì)不同注冊(cè)天數(shù)(X)用戶的購(gòu)買概率(Y)進(jìn)行預(yù)測(cè)。以下為計(jì)算過(guò)程。

第一步，輸入自變量注冊(cè)天數(shù)(X)的值，這里我們輸入50天。

第二步，將輸入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。

第三步，對(duì)L值取自然對(duì)數(shù)。

第四步，求時(shí)間發(fā)生可能性P(X)的概率值。

注冊(cè)天數(shù)為50天的用戶購(gòu)買的概率約為17.60%。

我們將所有注冊(cè)天數(shù)的值代入到購(gòu)買概率預(yù)測(cè)模型中，獲得了一條注冊(cè)天數(shù)對(duì)購(gòu)買概率影響的曲線。從曲線中可以發(fā)現(xiàn)，注冊(cè)天數(shù)在較低和較高天數(shù)的用戶購(gòu)買概率較為平穩(wěn)。中間天數(shù)用戶的購(gòu)買概率變化較大。

我們繼續(xù)在上面的計(jì)算結(jié)果中增加新的自變量“年齡”。以下是原始數(shù)據(jù)的截圖?，F(xiàn)在有年齡和注冊(cè)天數(shù)兩個(gè)自變量和一個(gè)因變量。

依照前面的方法計(jì)算斜率和截距的最優(yōu)解，并獲得邏輯回歸方程，將不同的年齡和注冊(cè)天數(shù)代入到方程中，獲得了用戶年齡和注冊(cè)天數(shù)對(duì)購(gòu)買的預(yù)測(cè)模型。我們通過(guò)Excel的三維圖表來(lái)繪制年齡和注冊(cè)天數(shù)對(duì)購(gòu)買概率的影響。

從圖中可以看出，購(gòu)買概率隨著注冊(cè)天數(shù)的增加而增長(zhǎng)，并且在相同的注冊(cè)天數(shù)下，年齡較小的用戶購(gòu)買概率相對(duì)較高。