小波變換通俗解釋

從傅里葉變換到小波變換，并不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。

下面就按照傅里葉-->短時傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下為什么會出現(xiàn)小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。

一、傅里葉變換
    關(guān)于傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認(rèn)大家現(xiàn)在正處在理解了傅里葉但還沒理解小波的道路上。
    下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號的頻譜，那么為什么還要提出小波變換？答案“對非平穩(wěn)過程，傅里葉變換有局限性”?？慈缦乱粋€簡單的信號：

做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。

一切沒有問題。但是，如果是頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號呢？

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。

可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。
    然而平穩(wěn)信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號分析等領(lǐng)域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

上圖所示的是一個正常人的事件相關(guān)電位。對于這樣的非平穩(wěn)信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現(xiàn)的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。

二、短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform,STFT）

一個簡單可行的方法就是——加窗。 “把整個時域過程分解成無數(shù)個等長的小過程，每個小過程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現(xiàn)了什么頻率了?！边@就是短時傅里葉變換。
看圖：

時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎！

用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了：

圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時間。兩排峰是對稱的，所以大家只用看一排就行了。
    是不是棒棒的？時頻分析結(jié)果到手。但是STFT依然有缺陷。
    使用STFT存在一個問題，我們應(yīng)該用多寬的窗函數(shù)？
    窗太寬太窄都有問題：

窗太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細(xì)，時間分辨率低。

（這里插一句，這個道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似于我們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，我們也不能同時獲取信號絕對精準(zhǔn)的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個瞬間哪個頻率分量存在，我們知道的只能是在一個時間段內(nèi)某個頻帶的分量存在。所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）
看看實例效果吧：

上圖對同一個信號（4個頻率成分）采用不同寬度的窗做STFT，結(jié)果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。
    所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對于時變的非穩(wěn)態(tài)信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩(wěn)態(tài)信號變化的頻率的需求。
三、小波變換
    那么你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有著這樣的思路。
    但事實上小波并不是這么做的（有人認(rèn)為“小波變換就是根據(jù)算法，加不等長的窗，對每一小部分進(jìn)行傅里葉變換”，這是不準(zhǔn)確的。小波變換并沒有采用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）
    至于為什么不采用可變窗的STFT呢，我認(rèn)為是因為這樣做冗余會太嚴(yán)重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。
    于是小波變換的出發(fā)點和STFT還是不同的。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了~
【解釋】
    來我們再回顧一下傅里葉變換吧，沒弄清傅里葉變換為什么能得到信號各個頻率成分的同學(xué)也可以再借我的圖理解一下。
    傅里葉變換把無限長的三角函數(shù)作為基函數(shù)：

這個基函數(shù)會伸縮、會平移（其實是兩個正交基的分解）?？s得窄，對應(yīng)高頻；伸得寬，對應(yīng)低頻。然后這個基函數(shù)不斷和信號做相乘。某一個尺度（寬窄）下乘出來的結(jié)果，就可以理解成信號所包含的當(dāng)前尺度對應(yīng)頻率成分有多少。于是，基函數(shù)會在某些尺度下，與信號相乘得到一個很大的值，因為此時二者有一種重合關(guān)系。那么我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。

仔細(xì)體會可以發(fā)現(xiàn)，這一步其實是在計算信號和三角函數(shù)的相關(guān)性。

看，這兩種尺度能乘出一個大的值（相關(guān)度高），所以信號包含較多的這兩個頻率成分，在頻譜上這兩個頻率會出現(xiàn)兩個峰。

以上，就是粗淺意義上傅里葉變換的原理。
    如前邊所說，小波做的改變就在于，將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。

這就是為什么它叫“小波”，因為是很小的一個波嘛~

從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對應(yīng)于頻率（反比），平移量 τ就對應(yīng)于時間。

當(dāng)伸縮、平移到這么一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。

而當(dāng)我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍后，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分。
    看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號啦！從此可以做時頻分析啦！
    做傅里葉變換只能得到一個頻譜，做小波變換卻可以得到一個時頻譜！

↑：時域信號

↑：傅里葉變換結(jié)果

↑：小波變換結(jié)果
    小波還有一些好處：
    1. 我們知道對于突變信號，傅里葉變換存在吉布斯效應(yīng)，我們用無限長的三角函數(shù)怎么也擬合不好突變信號：

然而衰減的小波就不一樣了：

2. 小波可以實現(xiàn)正交化，短時傅里葉變換不能。
以上，就是小波的意義。
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    以上只是用形象地給大家展示了一下小波的思想，希望能對大家的入門帶來一些幫助。畢竟如果對小波一無所知，直接去看那些堆砌公式、照搬論文語言的教材，一定會痛苦不堪。
在這里推薦幾篇入門讀物，都是以感性介紹為主，易懂但并不深入，對大家初步理解小波會很有幫助。文中有的思路和圖也選自于其中：
1. THE WAVELET TUTORIAL （強烈推薦，點擊鏈接：INDEX TO SERIES OFTUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR）
2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES
3. A Really Friendly Guide to Wavelets
4. Conceptual wavelets
    但是真正理解透小波變換，這些還差得很遠(yuǎn)。比如你至少還要知道有一個“尺度函數(shù)”的存在，它是構(gòu)造“小波函數(shù)”的關(guān)鍵，并且是它和小波函數(shù)一起才構(gòu)成了小波多分辨率分析，理解了它才有可能利用小波做一些數(shù)字信號處理；你還要理解離散小波變換、正交小波變換、二維小波變換、小波包……這些內(nèi)容國內(nèi)教材上講得也很糟糕，大家就一點一點啃吧~