基礎(chǔ)準(zhǔn)備

兩樣本推斷性統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)：兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ)。

均值差

通過(guò)對(duì)比單樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)，可以列出獨(dú)立兩樣本均值差的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)在不同情況的置信區(qū)間公式，有以下總結(jié)：

兩樣本的t分布

t分布在單樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)要求：正態(tài)總體，可以使用t分布進(jìn)行兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)；兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)要求：除了正態(tài)總體外，還要假設(shè)兩總體方差相等（方差齊性）才能使用t分布，原因是兩總體方差相等，才能得到自由度為n1+n2-2的均值差抽樣分布的方差，推導(dǎo)公式如下：

均值差的置信區(qū)間：標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本；

參照上表，標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體均值差抽樣分布為正態(tài)分布，可以得到獨(dú)立樣本均值差的置信區(qū)間，置信區(qū)間公式推導(dǎo)過(guò)程如下：

范例1：一位森林學(xué)家想知道還把高度對(duì)紅杉樹(shù)高度的影響。他測(cè)量了海平面上100棵成樹(shù)的高度（總體1，標(biāo)準(zhǔn)差已知為30英尺），高度均值為320英尺；海拔3000英尺的73棵成樹(shù)的高度（總體2，標(biāo)準(zhǔn)差已知為45英尺），高度均值為255英尺；問(wèn)：兩總體均值差的95%置信區(qū)間是多少？

解：不同海拔的紅杉樹(shù)的高度可以認(rèn)為是正態(tài)分布的，總體方差已知，而且不同海拔的紅杉樹(shù)是獨(dú)立樣本，可以直接用上面置信區(qū)間公式計(jì)算，過(guò)程如下：

均值差的假設(shè)檢驗(yàn)：標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本；

和單樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣（單樣本的假設(shè)檢驗(yàn)），兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題也有一對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：零假設(shè)和對(duì)立假設(shè)；同樣也存在兩側(cè)和單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，而且單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)又分為右側(cè)檢驗(yàn)和左側(cè)檢驗(yàn)。兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)中，一般把零假設(shè)為兩均值差為0，對(duì)立假設(shè)根據(jù)題意選擇雙側(cè)假設(shè)或是單側(cè)假設(shè)；兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)的步驟和單樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣。

從上表可知：標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)總體均值差的抽樣分布為正態(tài)分布，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換后可以假設(shè)檢驗(yàn)，過(guò)程見(jiàn)下方范例。

范例2：獨(dú)立隨機(jī)樣本取自均值未知，標(biāo)準(zhǔn)差已知的兩個(gè)正態(tài)分布總體，第一個(gè)總體，標(biāo)準(zhǔn)差為0.73，樣本容量為25，樣本均值為7.3；第二個(gè)總體，標(biāo)準(zhǔn)差為0.89，樣本容量為20，樣本均值為6.7；在顯著水平為0.01下作兩總體均值差等于0的右尾檢驗(yàn)。

均值差的置信區(qū)間：標(biāo)準(zhǔn)差未知，但假定相等的正態(tài)分布總體的獨(dú)立小樣本(小于30)

如上表所示，標(biāo)準(zhǔn)差未知，但假定相等的正態(tài)分布總體小樣本，均值差的抽樣分布符合t分布，可用表中置信區(qū)間計(jì)算公式，計(jì)算過(guò)程見(jiàn)范例。

范例3：為研究睡眠對(duì)記憶力的影響，一位心理學(xué)家在兩種條件下對(duì)人群進(jìn)行試驗(yàn)，內(nèi)容是有關(guān)北極野外生活的紀(jì)實(shí)電影的細(xì)節(jié)回憶，這兩種條件是：(1)電影在早上7點(diǎn)反映，被測(cè)人晚上睡眠正常，第二天晚上給他們50個(gè)有關(guān)電影的多項(xiàng)選擇題；(2)電影早7點(diǎn)反映，被測(cè)人白天情況如常，未睡覺(jué)，同一天晚上7點(diǎn)給他們50個(gè)問(wèn)題，樣本是獨(dú)立的，每組為15人，結(jié)果為：第1組，均值為37.2個(gè)正確，方差為3.33；第2組，均值為35.6個(gè)正確，方差為3.24。假定兩種條件下的總體都是正態(tài)分布，且方差相等，計(jì)算總體均值差95%的置信區(qū)間。

均值差的假設(shè)檢驗(yàn)：標(biāo)準(zhǔn)差未知，但假定相等的正態(tài)分布總體的獨(dú)立小樣本(小于30)

同上（置信區(qū)間），該條件下的假設(shè)檢驗(yàn)適用t分布。

范例4：為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響，一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素，然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間，第一組服用的是5mg的劑量，第二組服用的是15mg的劑量，樣本是獨(dú)立的，結(jié)果為：第一組，樣本容量為10人，均值為14.8min，方差為4.36；第二組，樣本容量為12人，均值為10.2min，方差為4.66。假定兩個(gè)條件下的總體是正態(tài)分布，并且有同方差，在顯著水平0.02下，用臨界決策規(guī)則作零假設(shè)：兩總體均值差為0的雙側(cè)檢驗(yàn)。

均值差的置信區(qū)間：標(biāo)準(zhǔn)差未知的任何總體分布的獨(dú)立大樣本(大于等于30)

對(duì)于獨(dú)立大樣本（樣本容量大于等于30），均值差的抽樣分布是正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，進(jìn)而使用Z分布進(jìn)行均值差區(qū)間估計(jì)；當(dāng)然，如果是正態(tài)總體且方差是齊性的，也可以使用t分布。

范例5：一位機(jī)場(chǎng)管理人員讓你估計(jì)一下，兩條航線中哪一條更遵守他們的計(jì)劃起飛時(shí)間。對(duì)每條航線你隨機(jī)測(cè)量了30架飛機(jī)的計(jì)劃起飛和實(shí)際起飛時(shí)間差。現(xiàn)在不能假定時(shí)間總體是正態(tài)分布，或是方差齊性的，獨(dú)立樣本結(jié)果：航線1，平均時(shí)間差12.4min，標(biāo)準(zhǔn)差3.72；航線2，平均時(shí)間差11.7min，標(biāo)準(zhǔn)差3.6。問(wèn)兩條航線平均時(shí)間差的差值的99%置信區(qū)間是什么？

均值差的假設(shè)檢驗(yàn)：標(biāo)準(zhǔn)差未知的任何總體分布的獨(dú)立大樣本(大于等于30)

同上的解釋?zhuān)簩?duì)于獨(dú)立大樣本（樣本容量大于等于30），均值差的抽樣分布是正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，進(jìn)而使用Z分布進(jìn)行均值差區(qū)間估計(jì)；當(dāng)然，如果是正態(tài)總體且方差是齊性的，也可以使用t分布。

范例6：一位機(jī)場(chǎng)管理人員讓你估計(jì)一下，兩條航線中哪一條更遵守他們的計(jì)劃起飛時(shí)間。對(duì)每條航線你隨機(jī)測(cè)量了30架飛機(jī)的計(jì)劃起飛和實(shí)際起飛時(shí)間差?，F(xiàn)在不能假定時(shí)間總體是正態(tài)分布，或是方差齊性的，獨(dú)立樣本結(jié)果：航線1，平均時(shí)間差12.4min，標(biāo)準(zhǔn)差3.72；航線2，平均時(shí)間差11.7min，標(biāo)準(zhǔn)差3.6。在0.01顯著水平下，用臨界值決策規(guī)則作零假設(shè)：兩條航線延誤時(shí)間的差等于0的雙側(cè)檢驗(yàn)。

均值差的置信區(qū)間：成對(duì)樣本

對(duì)于成對(duì)樣本，需要用到不同于上面描述的獨(dú)立兩樣本的估計(jì)方法，而應(yīng)該用成對(duì)樣本模型，模型推導(dǎo)如下：

范例7：某個(gè)醫(yī)學(xué)研究中心研究一種激素用量對(duì)于睡眠的影響。為了避免隨機(jī)選擇的偶然性（例如用15mg的病人比5mg的年輕）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，于是根據(jù)可能影響睡眠的年齡、性別、健康情況一起其它因素選擇了12對(duì)病人，然后將每對(duì)病人隨機(jī)分配到5mg組和15mg組。對(duì)每個(gè)病人測(cè)量從服藥到入睡的時(shí)間，然后計(jì)算每對(duì)的時(shí)間差，結(jié)果是：4.9，4.6，5.1，4.5，7.1，3.2，5.4，3.9，5.9，4.6，2.9，4.7。由這些數(shù)據(jù)計(jì)算5mg組合15mg組的95%置信區(qū)間，假定差值的總體是正態(tài)分布。

均值差的假設(shè)檢驗(yàn)：成對(duì)樣本

同上，成對(duì)樣本均值差的假設(shè)檢驗(yàn)也用t分布。

范例8：某個(gè)醫(yī)學(xué)研究中心研究一種激素用量對(duì)于睡眠的影響。為了避免隨機(jī)選擇的偶然性（例如用15mg的病人比5mg的年輕）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，于是根據(jù)可能影響睡眠的年齡、性別、健康情況一起其它因素選擇了12對(duì)病人，然后將每對(duì)病人隨機(jī)分配到5mg組和15mg組。對(duì)每個(gè)病人測(cè)量從服藥到入睡的時(shí)間，然后計(jì)算每對(duì)的時(shí)間差，結(jié)果是：4.9，4.6，5.1，4.5，7.1，3.2，5.4，3.9，5.9，4.6，2.9，4.7。在顯著水平0.05下，用臨界值決策桂策做零假設(shè)：兩總體均值差為0的右側(cè)檢驗(yàn)，假設(shè)差值總體是正態(tài)分布。

方差比

上一篇兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ)講過(guò)，兩樣本均值估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)用均值差表示，而兩樣本方差估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)則應(yīng)該用方差比。這里就引出了F分布（F分布回顧：兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ)）。

方差比的置信區(qū)間：參數(shù)未知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本

范例9：為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響，一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素，然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間，第一組服用的是5mg的劑量，第二組服用的是15mg的劑量，樣本是獨(dú)立的，結(jié)果為：第一組，樣本容量為10人，均值為14.8min，方差為4.36；第二組，樣本容量為12人，均值為10.2min，方差為4.66。假定兩種條件下的總體都是正態(tài)分布，計(jì)算量總體方差比的90%置信區(qū)間。

方差比的假設(shè)檢驗(yàn)：參數(shù)未知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本

同上，用F分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；

范例10：為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響，一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素，然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間，第一組服用的是5mg的劑量，第二組服用的是15mg的劑量，樣本是獨(dú)立的，結(jié)果為：第一組，樣本容量為10人，均值為14.8min，方差為4.36；第二組，樣本容量為12人，均值為10.2min，方差為4.66。假定兩總體方差齊性，在0.01顯著水平下，用臨界值決策規(guī)則作這個(gè)假定的雙側(cè)檢驗(yàn)。