
基礎(chǔ)準(zhǔn)備
兩樣本推斷性統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ):兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ)。
通過(guò)對(duì)比單樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的學(xué)習(xí),可以列出獨(dú)立兩樣本均值差的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)在不同情況的置信區(qū)間公式,有以下總結(jié):
兩樣本的t分布
t分布在單樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)要求:正態(tài)總體,可以使用t分布進(jìn)行兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn);兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)要求:除了正態(tài)總體外,還要假設(shè)兩總體方差相等(方差齊性)才能使用t分布,原因是兩總體方差相等,才能得到自由度為n1+n2-2的均值差抽樣分布的方差,推導(dǎo)公式如下:
均值差的置信區(qū)間:標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本;
參照上表,標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體均值差抽樣分布為正態(tài)分布,可以得到獨(dú)立樣本均值差的置信區(qū)間,置信區(qū)間公式推導(dǎo)過(guò)程如下:
范例1:一位森林學(xué)家想知道還把高度對(duì)紅杉樹(shù)高度的影響。他測(cè)量了海平面上100棵成樹(shù)的高度(總體1,標(biāo)準(zhǔn)差已知為30英尺),高度均值為320英尺;海拔3000英尺的73棵成樹(shù)的高度(總體2,標(biāo)準(zhǔn)差已知為45英尺),高度均值為255英尺;問(wèn):兩總體均值差的95%置信區(qū)間是多少?
解:不同海拔的紅杉樹(shù)的高度可以認(rèn)為是正態(tài)分布的,總體方差已知,而且不同海拔的紅杉樹(shù)是獨(dú)立樣本,可以直接用上面置信區(qū)間公式計(jì)算,過(guò)程如下:
均值差的假設(shè)檢驗(yàn):標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本;
和單樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣(單樣本的假設(shè)檢驗(yàn)),兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題也有一對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè):零假設(shè)和對(duì)立假設(shè);同樣也存在兩側(cè)和單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),而且單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)又分為右側(cè)檢驗(yàn)和左側(cè)檢驗(yàn)。兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)中,一般把零假設(shè)為兩均值差為0,對(duì)立假設(shè)根據(jù)題意選擇雙側(cè)假設(shè)或是單側(cè)假設(shè);兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)的步驟和單樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣。
從上表可知:標(biāo)準(zhǔn)差已知的正態(tài)總體均值差的抽樣分布為正態(tài)分布,進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換后可以假設(shè)檢驗(yàn),過(guò)程見(jiàn)下方范例。
范例2:獨(dú)立隨機(jī)樣本取自均值未知,標(biāo)準(zhǔn)差已知的兩個(gè)正態(tài)分布總體,第一個(gè)總體,標(biāo)準(zhǔn)差為0.73,樣本容量為25,樣本均值為7.3;第二個(gè)總體,標(biāo)準(zhǔn)差為0.89,樣本容量為20,樣本均值為6.7;在顯著水平為0.01下作兩總體均值差等于0的右尾檢驗(yàn)。
均值差的置信區(qū)間:標(biāo)準(zhǔn)差未知,但假定相等的正態(tài)分布總體的獨(dú)立小樣本(小于30)
如上表所示,標(biāo)準(zhǔn)差未知,但假定相等的正態(tài)分布總體小樣本,均值差的抽樣分布符合t分布,可用表中置信區(qū)間計(jì)算公式,計(jì)算過(guò)程見(jiàn)范例。
范例3:為研究睡眠對(duì)記憶力的影響,一位心理學(xué)家在兩種條件下對(duì)人群進(jìn)行試驗(yàn),內(nèi)容是有關(guān)北極野外生活的紀(jì)實(shí)電影的細(xì)節(jié)回憶,這兩種條件是:(1)電影在早上7點(diǎn)反映,被測(cè)人晚上睡眠正常,第二天晚上給他們50個(gè)有關(guān)電影的多項(xiàng)選擇題;(2)電影早7點(diǎn)反映,被測(cè)人白天情況如常,未睡覺(jué),同一天晚上7點(diǎn)給他們50個(gè)問(wèn)題,樣本是獨(dú)立的,每組為15人,結(jié)果為:第1組,均值為37.2個(gè)正確,方差為3.33;第2組,均值為35.6個(gè)正確,方差為3.24。假定兩種條件下的總體都是正態(tài)分布,且方差相等,計(jì)算總體均值差95%的置信區(qū)間。
均值差的假設(shè)檢驗(yàn):標(biāo)準(zhǔn)差未知,但假定相等的正態(tài)分布總體的獨(dú)立小樣本(小于30)
同上(置信區(qū)間),該條件下的假設(shè)檢驗(yàn)適用t分布。
范例4:為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響,一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素,然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間,第一組服用的是5mg的劑量,第二組服用的是15mg的劑量,樣本是獨(dú)立的,結(jié)果為:第一組,樣本容量為10人,均值為14.8min,方差為4.36;第二組,樣本容量為12人,均值為10.2min,方差為4.66。假定兩個(gè)條件下的總體是正態(tài)分布,并且有同方差,在顯著水平0.02下,用臨界決策規(guī)則作零假設(shè):兩總體均值差為0的雙側(cè)檢驗(yàn)。
均值差的置信區(qū)間:標(biāo)準(zhǔn)差未知的任何總體分布的獨(dú)立大樣本(大于等于30)
對(duì)于獨(dú)立大樣本(樣本容量大于等于30),均值差的抽樣分布是正態(tài)分布,可以轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,進(jìn)而使用Z分布進(jìn)行均值差區(qū)間估計(jì);當(dāng)然,如果是正態(tài)總體且方差是齊性的,也可以使用t分布。
范例5:一位機(jī)場(chǎng)管理人員讓你估計(jì)一下,兩條航線中哪一條更遵守他們的計(jì)劃起飛時(shí)間。對(duì)每條航線你隨機(jī)測(cè)量了30架飛機(jī)的計(jì)劃起飛和實(shí)際起飛時(shí)間差。現(xiàn)在不能假定時(shí)間總體是正態(tài)分布,或是方差齊性的,獨(dú)立樣本結(jié)果:航線1,平均時(shí)間差12.4min,標(biāo)準(zhǔn)差3.72;航線2,平均時(shí)間差11.7min,標(biāo)準(zhǔn)差3.6。問(wèn)兩條航線平均時(shí)間差的差值的99%置信區(qū)間是什么?
均值差的假設(shè)檢驗(yàn):標(biāo)準(zhǔn)差未知的任何總體分布的獨(dú)立大樣本(大于等于30)
同上的解釋?zhuān)簩?duì)于獨(dú)立大樣本(樣本容量大于等于30),均值差的抽樣分布是正態(tài)分布,可以轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,進(jìn)而使用Z分布進(jìn)行均值差區(qū)間估計(jì);當(dāng)然,如果是正態(tài)總體且方差是齊性的,也可以使用t分布。
范例6:一位機(jī)場(chǎng)管理人員讓你估計(jì)一下,兩條航線中哪一條更遵守他們的計(jì)劃起飛時(shí)間。對(duì)每條航線你隨機(jī)測(cè)量了30架飛機(jī)的計(jì)劃起飛和實(shí)際起飛時(shí)間差?,F(xiàn)在不能假定時(shí)間總體是正態(tài)分布,或是方差齊性的,獨(dú)立樣本結(jié)果:航線1,平均時(shí)間差12.4min,標(biāo)準(zhǔn)差3.72;航線2,平均時(shí)間差11.7min,標(biāo)準(zhǔn)差3.6。在0.01顯著水平下,用臨界值決策規(guī)則作零假設(shè):兩條航線延誤時(shí)間的差等于0的雙側(cè)檢驗(yàn)。
均值差的置信區(qū)間:成對(duì)樣本
對(duì)于成對(duì)樣本,需要用到不同于上面描述的獨(dú)立兩樣本的估計(jì)方法,而應(yīng)該用成對(duì)樣本模型,模型推導(dǎo)如下:
范例7:某個(gè)醫(yī)學(xué)研究中心研究一種激素用量對(duì)于睡眠的影響。為了避免隨機(jī)選擇的偶然性(例如用15mg的病人比5mg的年輕)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,于是根據(jù)可能影響睡眠的年齡、性別、健康情況一起其它因素選擇了12對(duì)病人,然后將每對(duì)病人隨機(jī)分配到5mg組和15mg組。對(duì)每個(gè)病人測(cè)量從服藥到入睡的時(shí)間,然后計(jì)算每對(duì)的時(shí)間差,結(jié)果是:4.9,4.6,5.1,4.5,7.1,3.2,5.4,3.9,5.9,4.6,2.9,4.7。由這些數(shù)據(jù)計(jì)算5mg組合15mg組的95%置信區(qū)間,假定差值的總體是正態(tài)分布。
均值差的假設(shè)檢驗(yàn):成對(duì)樣本
同上,成對(duì)樣本均值差的假設(shè)檢驗(yàn)也用t分布。
范例8:某個(gè)醫(yī)學(xué)研究中心研究一種激素用量對(duì)于睡眠的影響。為了避免隨機(jī)選擇的偶然性(例如用15mg的病人比5mg的年輕)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,于是根據(jù)可能影響睡眠的年齡、性別、健康情況一起其它因素選擇了12對(duì)病人,然后將每對(duì)病人隨機(jī)分配到5mg組和15mg組。對(duì)每個(gè)病人測(cè)量從服藥到入睡的時(shí)間,然后計(jì)算每對(duì)的時(shí)間差,結(jié)果是:4.9,4.6,5.1,4.5,7.1,3.2,5.4,3.9,5.9,4.6,2.9,4.7。在顯著水平0.05下,用臨界值決策桂策做零假設(shè):兩總體均值差為0的右側(cè)檢驗(yàn),假設(shè)差值總體是正態(tài)分布。
方差比
上一篇兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ)講過(guò),兩樣本均值估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)用均值差表示,而兩樣本方差估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)則應(yīng)該用方差比。這里就引出了F分布(F分布回顧:兩樣本估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)基礎(chǔ))。
方差比的置信區(qū)間:參數(shù)未知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本
范例9:為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響,一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素,然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間,第一組服用的是5mg的劑量,第二組服用的是15mg的劑量,樣本是獨(dú)立的,結(jié)果為:第一組,樣本容量為10人,均值為14.8min,方差為4.36;第二組,樣本容量為12人,均值為10.2min,方差為4.66。假定兩種條件下的總體都是正態(tài)分布,計(jì)算量總體方差比的90%置信區(qū)間。
方差比的假設(shè)檢驗(yàn):參數(shù)未知的正態(tài)分布總體的獨(dú)立樣本
同上,用F分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn);
范例10:為檢測(cè)某種激素對(duì)失眠的影響,一個(gè)醫(yī)生給兩組臨睡前的病人服用不同劑量的激素,然后測(cè)量他們從服藥到入睡的時(shí)間,第一組服用的是5mg的劑量,第二組服用的是15mg的劑量,樣本是獨(dú)立的,結(jié)果為:第一組,樣本容量為10人,均值為14.8min,方差為4.36;第二組,樣本容量為12人,均值為10.2min,方差為4.66。假定兩總體方差齊性,在0.01顯著水平下,用臨界值決策規(guī)則作這個(gè)假定的雙側(cè)檢驗(yàn)。
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