大數(shù)據(jù)之基于模型的復雜數(shù)據(jù)多維聚類析(二)

在隱樹模型中，一個隱變量對應(yīng)一種數(shù)據(jù)聚類的方法。隱樹模型允許模型中有多個隱變量，所以自然地可以多維同時聚類。在例子模型中，可以按照分析能力或者語言能力對學生聚類，也可以按照智力對學生聚類。在隱樹模型中，聚類分析可以通過計算給定學生成績的后驗概率進行判斷。所以，利用隱樹模型進行多維聚類分析的技術(shù)重點就在如何通過觀測數(shù)據(jù)學習一個最優(yōu)的模型。抽象地說，就是找到能夠最好地解釋數(shù)據(jù)的一個生成隱樹模型(Generative Latent tree model)。

隱樹模型的學習

　　隱樹模型的學習是一個對模型逐步優(yōu)化的過程，優(yōu)化的目標函數(shù)是一個稱為貝葉斯信息準則(Bayes information criterion， 簡稱BIC) 的函數(shù)：

　　BIC(m|D) = max θ log P(D|m, θ) – d(m)logN/2

　　BIC準則要求模型與數(shù)據(jù)盡量緊密地擬合，但其復雜不能過高。所以式中第一項表示擬合程度，而第二項是對于模型復雜度的一個懲罰項。我們的優(yōu)化過程是一個基于搜索的爬山算法(Hill-Climbing)。以只包含一個隱變量的簡單的隱樹模型作為搜索的起始模型，在搜索的過程中，逐步引入新的隱變量、增加隱變量的取值個數(shù)、或者調(diào)整變量之間的連接。這是一個逐步修改模型的過程，在這個過程中，模型與數(shù)據(jù)的擬合程度不斷改進，從而BIC分逐步增加。當模型就變得太復雜時，BIC會不升反降，于是搜索過程停止。

　　隱樹模型的學習是一個非常耗時的過程，主要原因在于對于BIC分數(shù)的計算。BIC函數(shù)的第一項叫做最大似然函數(shù)，在模型包含缺失值或者隱變量時，計算最大似然函數(shù)需要調(diào)用EM(Expectation-Maximization)算法。盡管我們已經(jīng)對于限制了模型結(jié)構(gòu)為簡單的樹狀結(jié)構(gòu)，但是在這樣的模型上進行EM的計算依然是非常困難。圍繞隱樹模型的很多工作都是在研究如何對模型學習進行加速的，這兒就不贅述了。

　　基于隱樹模型的多維聚類分析實例

　　我們以一個真實的數(shù)據(jù)分析實例來展現(xiàn)多維聚類分析。數(shù)據(jù)來自某地區(qū)的關(guān)于貪污的社會調(diào)查問卷。通過一些數(shù)據(jù)預(yù)處理，我們的數(shù)據(jù)(如圖所示)包含了1200份的問卷，以及31個問題。比如說C_City表示被訪問者對于該地區(qū)的貪污普遍性的看法，可以有4個選項，分別是非常普遍，普遍，不普遍，以及非常不普遍。C_Gov和C_Bus分別表示受訪者對于該地區(qū)政府部門或商業(yè)部門的貪污普遍性的看法，同樣也有四個選項。Tolerance_C_Gov和Tolerance_C_Bus則分別表示受訪者對于該地區(qū)的政府部門以及商業(yè)部門的貪污的容忍程度，可以選擇完全不能容忍，不能容忍，能容忍，完全能容忍。數(shù)據(jù)表里面的-1表示受訪者對該問題的回答缺失。

　　利用隱樹的學習算法，我們從這個數(shù)據(jù)得到了一個如圖所示的模型。葉節(jié)點對應(yīng)問卷問題，即顯變量。中間結(jié)點，Y0-Y8是從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)的隱變量，括號里面的數(shù)字表示這個變量所取的狀態(tài)個數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)這些隱變量都有一定的意義，比如，Y2和問卷中的Sex，Age，Income，Education這些問題緊密連接，說明Y2應(yīng)該是表示受訪人的人口統(tǒng)計信息。Y3和問卷中的Tolerance_C_Gov和Tolerance_C_Bus緊密聯(lián)系，說明Y3是反映受訪者總體對于貪污的看法。

　　模型中的每個隱變量表示數(shù)據(jù)聚類的一種方式。比如，變量Y2有4個值，說明Y2提示數(shù)據(jù)可以分成四個類。這種聚類主要基于Sex，Age，Income，Education這些人口統(tǒng)計信息相關(guān)變量的，所以可以說當我們關(guān)注人群的人口統(tǒng)計信息這個側(cè)面時，我們可以根據(jù)Y2把人群分成四類。具體地研究這四類的類條件概率(Class-Conditional ProbabilityDistribution)特性，我們進一步發(fā)現(xiàn)它們分別代表：低收入的年輕人群，低收入的女性人群，受過高等教育的高收入人群，以及只接受初等教育的一般收入人群。同時，我們看到Y(jié)3有3個取值，這說明從人群對于貪污總體看法這個側(cè)面出發(fā)，可以把人群分成三類，分別是對于貪污完全不能容忍的人群，對于貪污比較不能容忍的人群，對于貪污可以容忍的人群。同樣地，我們的聚類也可以基于其他隱變量所代表的側(cè)面。這樣從模型中我們得到了9種聚類的方法，達到了多維同時聚類的效果。