在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。

設(shè)給定二元函數(shù) 和附加條件
為尋找 在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)
，其中 為參數(shù)。
令 對(duì) 和 和 的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即

由上述方程組解出 ， 及 ，如此求得的 ，就是函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)。
若這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，由實(shí)際問題可直接確定此即所求的點(diǎn)。

從定義上看，在二元的情況下，只要對(duì) 求導(dǎo)兩次，再結(jié)合條件 ，即可得到所求的極值點(diǎn) 。

例題

已知 ， ，求 的最小值。

分析 由柯西不等式，容易得到最小值為 ，接下來嘗試用拉格朗日乘數(shù)法。

解 易得

則得到以下方程組

聯(lián)立方程組得

解得 ， ，

所以

總結(jié)起來就是，要求解 元函數(shù)的最值，有 個(gè)限制條件，就要解 個(gè)等式構(gòu)成的方程組。