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首頁大數(shù)據(jù)時代一文帶你快速了解矩陣中特征值與特征向量那些事兒
一文帶你快速了解矩陣中特征值與特征向量那些事兒
2020-08-03
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在線性代數(shù)中，我們都學(xué)過特征值與特征向量，但是對于這兩者的意義以及應(yīng)用卻理解得不是那么深刻。機(jī)器學(xué)習(xí)中，我們也經(jīng)常會遇到特征值與特征向量這兩個概念，小編今天就給大家具體分享一下這兩者的基本知識。

一、特征值和特征向量定義

設(shè)A為n階方陣，如果數(shù)λ和n為非零列向量x，并使得Ax=λx成立，那么就把λ叫做方陣A的一個特征值，x就是方陣A的對應(yīng)于特征值λ的一個特征向量。

需要注意：

1.A是方陣。(對于非方陣來說，是不存在特征值的，但是會存在條件數(shù)。)

2.特征向量x為非零列向量。

二、特征值和特征向量幾何意義

如果把矩陣當(dāng)做是運(yùn)動，那么對于運(yùn)動來說，最重要就是速度和方向了。

特征值表示運(yùn)動的速度

特征向量表示運(yùn)動的方向


接下來我們調(diào)整向量v的方向，使其看起來特殊一點(diǎn)

特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運(yùn)動，特征值決定了伸縮的幅度。如果特征值大于1.那么所有屬于此特征值的特征向量變長;當(dāng)特征值大于0小于1時，那么特征向量就會縮短;當(dāng)特征值小于0.這時特征向量縮過了界，就會反方向到達(dá)原點(diǎn)。

三、特征值、特征向量的性質(zhì)

1.只有方陣才有特征值和特征向量 。因?yàn)榭傆?a href='/map/tezheng/' style='color:#000;font-size:inherit;'>特征多項(xiàng)式(特征方程)，所以方陣總有特征值，但是并不是所有方陣都有實(shí)數(shù)特征解

2.實(shí)方陣一定有實(shí)數(shù)特征解

3.不同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的

4.對于實(shí)對稱矩陣或埃爾米特矩陣來說，不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交(相互垂直)

四、矩陣對角化

矩陣對角化的充要條件為：n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量。

推斷出：如果n階方陣A有n個互不相同的特征值，那么方陣A可對角化。

并且：

對角陣的主對角元素為A的特征值

可逆矩陣P由A的n個線性無關(guān)的特征向量作列向量構(gòu)成。

五、python求解特征值和特征向量示例 


>>> a=np.array([[1,2,3],[3,2,5],[1,10,8]])
>>> e,q=np.linalg.eig(a)
>>> e
array([ 13.50864036,  -0.42667365,  -2.0819667 ])
>>> q
array([[-0.27543318, -0.6534998 , -0.23748816],
       [-0.44255955, -0.44847532, -0.67779488],
       [-0.85339183,  0.60976053,  0.69584012]])
>>> 
>>> E=np.diag(e) # 對角陣
>>> E
array([[ 13.50864036,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,  -0.42667365,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,  -2.0819667 ]])


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') } function initGt() { var handler = function (captchaObj) { captchaObj.appendTo('#captcha'); captchaObj.onReady(function () { $("#wait").hide(); }).onSuccess(function(){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); $('.getcheckcode').trigger('click'); }); window.captchaObj = captchaObj; }; $('#captcha').show(); $.ajax({ url: "/login/gtstart?t=" + (new Date()).getTime(), // 加隨機(jī)數(shù)防止緩存 type: "get", dataType: "json", success: function (data) { $('#text').hide(); $('#wait').show(); // 調(diào)用 initGeetest 進(jìn)行初始化 // 參數(shù)1：配置參數(shù) // 參數(shù)2：回調(diào)，回調(diào)的第一個參數(shù)驗(yàn)證碼對象，之后可以使用它調(diào)用相應(yīng)的接口 initGeetest({ // 以下 4 個配置參數(shù)為必須，不能缺少 gt: data.gt, challenge: data.challenge, offline: !data.success, // 表示用戶后臺檢測極驗(yàn)服務(wù)器是否宕機(jī) new_captcha: data.new_captcha, // 用于宕機(jī)時表示是新驗(yàn)證碼的宕機(jī) product: "float", // 產(chǎn)品形式，包括：float，popup width: "280px", https: true // 更多配置參數(shù)說明請參見：http://docs.geetest.com/install/client/web-front/ }, handler); } }); } function codeCutdown() { if(_wait == 0){ //倒計時完成 $(".getcheckcode").removeClass('dis').html("重新獲取"); }else{ $(".getcheckcode").addClass('dis').html("重新獲取("+_wait+"s)"); _wait--; setTimeout(function () { codeCutdown(); },1000); } } function inputValidate(ele,telInput) { var oInput = ele; var inputVal = oInput.val(); var oType = ele.attr('data-type'); var oEtag = $('#etag').val(); var oErr = oInput.closest('.form_box').next('.err_txt'); var empTxt = '請輸入'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var errTxt = '請輸入正確的'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var pattern; if(inputVal==""){ if(!telInput){ errFun(oErr,empTxt); } return false; }else { switch (oType){ case 'login_mobile': pattern = /^1[3456789]\d{9}$/; if(inputVal.length==11) { $.ajax({ url: '/login/checkmobile', type: "post", dataType: "json", data: { mobile: inputVal, etag: oEtag, page_ur: window.location.href, page_referer: document.referrer }, success: function (data) { } }); } break; case 'login_yzm': pattern = /^\d{6}$/; break; } if(oType=='login_mobile'){ } if(!!validateFun(pattern,inputVal)){ errFun(oErr,'') if(telInput){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); } }else { if(!telInput) { errFun(oErr, errTxt); }else { $('.getcheckcode').addClass('dis'); } return false; } } return true; } function errFun(obj,msg) { obj.html(msg); if(msg==''){ $('.login_submit').removeClass('dis'); }else { $('.login_submit').addClass('dis'); } } function validateFun(pat,val) { return pat.test(val); }