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最大后驗(yàn)估計(jì)MAP是什么？它是怎么推導(dǎo)出來的？
2020-07-08
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最大后驗(yàn)估計(jì)(maximum a posteriori probability estimate), 簡(jiǎn)稱為MAP。在貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中，最大后驗(yàn)估計(jì)是通過利用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得對(duì)未觀測(cè)量的點(diǎn)態(tài)估計(jì)。

與極大似然估計(jì)類似，不同的是，在似然函數(shù)后面多乘了一項(xiàng)：“待估計(jì)參數(shù)的先驗(yàn)分布”。MAP介紹這個(gè)參數(shù)服從一個(gè)分布，既參數(shù)取到每個(gè)值的可能性不是相等的，而是服從一個(gè)分布的。而MLE的參數(shù)是不服從分布的(或者說服從均勻分布，因此取到每一值是均可能的。)。所以也可以說最大后驗(yàn)估計(jì)是規(guī)則化的極大似然估計(jì)。最大后驗(yàn)估計(jì)等價(jià)于曲線擬合中的正則化的最小二乘法，也是假設(shè)model的參數(shù)是確定量，但是值未定。由于引入了先驗(yàn)概率，可以抑制過擬合現(xiàn)象。

最大后驗(yàn)估計(jì)MAP是根據(jù)貝葉斯定理先驗(yàn)轉(zhuǎn)后驗(yàn)推導(dǎo)出來的：

根據(jù)貝葉斯理論，對(duì)于θ的后驗(yàn)分布：

后驗(yàn)分布的目標(biāo)為：

(分母為f(x)，是固定值)

MAP認(rèn)為，θ是一個(gè)隨機(jī)變量，其先驗(yàn)概率密度函數(shù)是已知的，為P(θ)，所以其目標(biāo)為：


可以把最大后驗(yàn)估計(jì)看做是貝葉斯估計(jì)的一種特定形式。

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