近來(lái)數(shù)據(jù)記錄和規(guī)模屬性都在急劇增長(zhǎng)，由于大多數(shù)數(shù)據(jù)挖掘算法都是直接逐列處理數(shù)據(jù)，因此導(dǎo)致算法越來(lái)越慢。為了保證減少數(shù)據(jù)列數(shù)的同時(shí)，丟失的數(shù)據(jù)信息盡可能少，

數(shù)據(jù)降維處理算法應(yīng)運(yùn)而生。

一、降維的概念和本質(zhì)

機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的降維就是指采用某種映射方法，將原高維空間中的數(shù)據(jù)點(diǎn)映射到低維度的空間中。降維的本質(zhì)是學(xué)習(xí)一個(gè)映射函數(shù) f : x->y，其中x是原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的表達(dá)，目前最多使用向量表達(dá)形式。 y是數(shù)據(jù)點(diǎn)映射后的低維向量表達(dá)，通常y的維度小于x的維度(當(dāng)然提高維度也是可以的)。

二、降維的作用：

1.降低時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)

2.節(jié)省了提取不必要特征的開銷

3.去掉數(shù)據(jù)集中夾雜的噪音

5.較簡(jiǎn)單的模型在小數(shù)據(jù)集上有更強(qiáng)的魯棒性

6.當(dāng)數(shù)據(jù)能有較少的特征進(jìn)行解釋，我們可以更好 的解釋數(shù)據(jù)，使得我們可以提取知識(shí)。

7.實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化

三、常用的降維方法

1.PCA

PCA是不考慮樣本類別輸出的無(wú)監(jiān)督降維技術(shù)。

PCA的算法步驟：

設(shè)有m條n維數(shù)據(jù)。

1)將原始數(shù)據(jù)按列組成n行m列矩陣X

2)將X的每一行(代表一個(gè)屬性字段)進(jìn)行零均值化，即減去這一行的均值

3)求出協(xié)方差矩陣

4)求出協(xié)方差矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量

5)將特征向量按對(duì)應(yīng)特征值大小從上到下按行排列成矩陣，取前k行組成矩陣P

6)即為降維到k維后的數(shù)據(jù)

2.LDA

LDA是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)的降維技術(shù)，也就是說(shuō)它的數(shù)據(jù)集的每個(gè)樣本是有類別輸出的。這點(diǎn)和PCA不同。LDA的思想可以用一句話概括，就是“投影后類內(nèi)方差最小，類間方差最大”。什么意思呢? 我們要將數(shù)據(jù)在低維度上進(jìn)行投影，投影后希望每一種類別數(shù)據(jù)的投影點(diǎn)盡可能的接近，而不同類別的數(shù)據(jù)的類別中心之間的距離盡可能的大。

LDA算法步驟：

1) 計(jì)算類內(nèi)散度矩陣

2) 計(jì)算類間散度矩陣

3) 計(jì)算矩陣

4)計(jì)算的最大的d個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的d個(gè)特征向量,得到投影矩陣[Math Processing Error]

5) 對(duì)樣本集中的每一個(gè)樣本特征,轉(zhuǎn)化為新的樣本

6) 得到輸出樣本集

3.局部線性嵌入 (LLE)

Locally linear embedding(LLE)是一種非線性降維算法，即使數(shù)據(jù)降維后，也能較好地保持原有 流形結(jié)構(gòu) 。LLE稱得上是流形學(xué)習(xí)方法最經(jīng)典的工作之一，后續(xù)很多的流形學(xué)習(xí)、降維方法都與LLE有密切聯(lián)系。

如下圖，使用LLE將三維數(shù)據(jù)(b)映射到二維(c)之后，映射后的數(shù)據(jù)仍能保持原有的數(shù)據(jù)流形(紅色的點(diǎn)互相接近，藍(lán)色的也互相接近)，說(shuō)明LLE有效地保持了數(shù)據(jù)原有的流行結(jié)構(gòu)。

但是LLE在有些情況下也并不適用，如果數(shù)據(jù)分布在整個(gè)封閉的球面上，LLE則不能將它映射到二維空間，且不能保持原有的數(shù)據(jù)流形。那么我們?cè)谔幚頂?shù)據(jù)中，首先假設(shè)數(shù)據(jù)不是分布在閉合的球面或者橢球面上。

4.拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps)

Laplacian Eigenmaps 是用局部的角度去構(gòu)建數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。

使用時(shí)算法具體步驟為：

步驟1：構(gòu)建圖

使用某一種方法來(lái)將所有的點(diǎn)構(gòu)建成一個(gè)圖，例如使用KNN算法，將每個(gè)點(diǎn)最近的K個(gè)點(diǎn)連上邊。K是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的值。

步驟2：確定權(quán)重

確定點(diǎn)與點(diǎn)之間的權(quán)重大小，例如選用熱核函數(shù)來(lái)確定，如果點(diǎn)i和點(diǎn)j相連，那么它們關(guān)系的權(quán)重設(shè)定為：

使用最小的m個(gè)非零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為降維后的結(jié)果輸出。