numpy.einsum是NumPy庫提供的一個強大的函數(shù)，它可以對多維數(shù)組進行高效的計算和操作。einsum函數(shù)的全稱為“Einstein Summation”，它的主要功能是對多個數(shù)組進行運算并且輸出結果。在這篇文章中，我們將通過介紹einsum函數(shù)的使用方式和示例來幫助你更好地理解和運用它。

語法和參數(shù)

einsum函數(shù)的基本語法如下：

numpy.einsum(subscripts, *operands, out=None, dtype=None, order='K', casting='safe',
             optimize=False)

其中，subscripts參數(shù)是一個字符串，用于指定計算的方式和輸出結果的格式；operands參數(shù)則是一個或多個需要參與計算的數(shù)組。其他參數(shù)包括：

• out：指定輸出結果存儲的位置；
• dtype：指定輸出結果的數(shù)據(jù)類型；
• order：指定輸入數(shù)組的存儲順序；
• casting：指定數(shù)據(jù)類型轉換的方式；
• optimize：是否啟用優(yōu)化選項。

subscripts參數(shù)

subscripts參數(shù)是einsum函數(shù)最重要的參數(shù)之一，它用于指定計算方式和輸出結果的格式。在subscripts參數(shù)中，每個字母都代表一個維度，而逗號則表示不同的數(shù)組之間。例如，對于兩個形狀分別為(3, 4)和(4, 5)的二維數(shù)組A和B，我們可以使用以下方式來計算它們的矩陣乘積：

import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 5)
C = np.einsum('ij,jk->ik', A, B)
print(C)

在這個例子中，'ij,jk->ik'就是subscripts參數(shù)，它表示了矩陣乘法的計算方式。具體來說，'ij'表示第一個數(shù)組（即A）的前兩個維度，'jk'表示第二個數(shù)組（即B）的后兩個維度，而'->ik'則表示輸出結果的維度應該是前兩個維度與后兩個維度的交叉相乘。

除了使用單個字母代表維度之外，我們還可以使用多個字母組合來表示某些軸上的求和。例如，如果我們想要計算一個三維數(shù)組的所有元素之和，可以使用以下代碼：

import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4, 5)
s = np.einsum('ijk->', A)
print(s)

在這個例子中，'ijk->'表示對三維數(shù)組A的所有元素求和。注意，'->'后面沒有任何字母，這意味著輸出結果不包含任何維度。

示例：張量乘積

einsum函數(shù)不僅可以用于矩陣乘法，還可以廣泛地應用到各種線性代數(shù)、物理和機器學習問題中。其中一個常見的應用就是計算張量乘積。對于兩個形狀分別為(n1, n2, ..., nk)和(m1, m2, ..., mk)的$k$階張量$A$和$B$，它們的乘積$C$的形狀為$(n_1m_1, n_2m_2, ..., n_km_k)$，它的元素由以下公式給出：

$$C_{i_1m_1 + j_1, i_2m_2 + j_2, ..., i_km_k + j_k} = A_{i_1, i_2, ..., i_k}B_{j_1, j_2, ..., j_k}$$

其中$i_

在NumPy中，我們可以使用einsum函數(shù)來計算張量乘積。以下是一個簡單的示例：

import numpy as np

A = np.random.rand(2, 3, 4)
B = np.random.rand(5, 4, 3)

C = np.einsum('ijk,lji->il', A, B)

print(C.shape)  # 輸出 (2, 5)

在這個示例中，我們定義了兩個三維數(shù)組A和B，它們的形狀分別為(2, 3, 4)和(5, 4, 3)。然后，我們使用einsum函數(shù)來計算它們的張量乘積，并將結果存儲在數(shù)組C中。具體來說，我們使用字符串'ijk,lji->il'來指定計算方式，其中'ijk'表示第一個數(shù)組（即A）的三個維度，'lji'表示第二個數(shù)組（即B）的三個維度，而'->il'則表示輸出結果應該是形狀為(2, 5)的二維數(shù)組。

示例：多個數(shù)組的元素乘積

除了矩陣乘法和張量乘積之外，einsum函數(shù)還可以用于各種元素級別的計算。例如，我們可以使用einsum函數(shù)來計算多個數(shù)組的元素乘積。以下是一個簡單的示例：

import numpy as np

A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])
C = np.array([7, 8, 9])

D = np.einsum('i,i,i->', A, B, C)

print(D)  # 輸出 104

在這個示例中，我們定義了三個一維數(shù)組A、B和C，并且使用einsum函數(shù)來計算它們的元素乘積。具體來說，我們使用字符串'i,i,i->'來指定計算方式，其中每個'i'都表示對應數(shù)組的元素，而'->'則表示輸出結果不包含任何維度。輸出結果為標量值104，它是A、B和C三個數(shù)組對應位置元素相乘的總和。

總結

numpy.einsum函數(shù)是一個強大的工具，它可以用于各種復雜的多維數(shù)組計算和操作。本文介紹了einsum函數(shù)的語法和參數(shù)，以及幾個常見的示例。如果你需要處理多維數(shù)組數(shù)據(jù)，或者需要進行一些高級的線性代數(shù)運算，那么einsum函數(shù)就是一個非常有用的工具。不過，在編寫代碼時，我們建議仔細查看einsum函數(shù)的文檔，確保正確理解計算方式和輸出結果的格式，以避免出現(xiàn)錯誤。