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數(shù)據(jù)分析師知識(shí)點(diǎn)匯總（主成分分析）
2021-02-19
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一、具體方法

1.主成分分析的具體方法

主成分分析是一類常用的針對(duì)連續(xù)變量的降維方法，選取能夠最大化解釋數(shù)據(jù)變異的成分，將數(shù)據(jù)從高維降到低維，同時(shí) 保證各個(gè)維度之間正交。 對(duì)變量的協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣求取特征值和特征向量，經(jīng)證明，對(duì)應(yīng)最大特征值的特征向量，其方向正是協(xié)方差矩 陣變異最大的方向。依次類推，第二大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，是與第一個(gè)特征向量正交且能最大程度解釋數(shù)據(jù)剩余變異 的方向，而每個(gè)特征值則能夠衡量各方向上變異的程度。因此，進(jìn)行主成分分析時(shí)，選取最大的幾個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向 量，并將數(shù)據(jù)映射在這幾個(gè)特征向量組成的參考系中，達(dá)到降維的目的（選擇的特征向量數(shù)量低于原始數(shù)據(jù)的維數(shù)）。

二、算法解析

1.主成分分析算法解析

主成分分析算法認(rèn)為，數(shù)據(jù)的信息是包含在其方差當(dāng)中的，如果一個(gè)隨機(jī)變量的方差很小，說(shuō)明其不確定性較低，或者說(shuō)即便我們沒(méi)有獲 得這個(gè)變量的抽樣值，也幾乎可以用一個(gè)確定的值（例如其期望值）來(lái)代替它，因此引入它只能消除很少的不確定性，即該變量包含的信 息較少。相反，一個(gè)方差很大的變量，如果能夠獲得它的抽樣值，則可以幫助我們消除很大一部分不確定性，因此它包含的信息較多。 從主成分分析的觀點(diǎn)出發(fā)，我們就知道下圖中投影到哪個(gè)軸更加合適了，顯然將原始坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到左圖當(dāng)中的U1位置更好，因?yàn)閿?shù)據(jù)在 這個(gè)方向上的變異（方差）更大，而樣本在右圖的U1方向顯然變異更?。▓D中陰影用于示意離散程度，并不代表方差大?。?。

數(shù)據(jù)分析師知識(shí)點(diǎn)匯總（主成分分析）
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我們的目標(biāo)是優(yōu)化上式，求滿足該函數(shù)最大化的 u，可以使用拉格朗日乘數(shù)法，即求滿足下式最大的 u：

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三、應(yīng)用

1.何時(shí)采用相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法和協(xié)方差矩陣計(jì)算方法

在實(shí)際研究中，有時(shí)單個(gè)指標(biāo)的方差對(duì)研究目的起關(guān)鍵作用，為了達(dá)到研究目的，此時(shí)用協(xié)方差矩陣進(jìn)行主成分分析恰 到好處。相關(guān)系數(shù)矩陣就是隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差矩陣。通過(guò)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化，相關(guān)系數(shù)矩陣剝離了單個(gè)指標(biāo)的 方差,僅保留指標(biāo)間的相關(guān)性,用相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算主成分，其優(yōu)勢(shì)效應(yīng)僅體現(xiàn)在相關(guān)性大、相關(guān)指標(biāo)數(shù)多的一類指標(biāo)上。

2.主成分法的應(yīng)用

大致分為三個(gè)方面：

（1）對(duì)數(shù)據(jù)做綜合打分

（2）降維以便對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述

（3）為聚類或回歸等分析提供變量壓縮 在應(yīng)用時(shí)要能夠判斷主成分法的適用性，能夠根據(jù)需求選取合適的主成分?jǐn)?shù)量。

四、例題精講

1.主成分分析計(jì)算在選擇相關(guān)系數(shù)計(jì)算法時(shí)，確定主成分個(gè)數(shù)的大致原則包括（ ）?

A.特征根值大于1

B. 特征根值大于0.5

C.累積特征根值加總占總特征根值的80%以上

D. 累積特征根值加總占總特征根值的50%以上

答案：AC 解析：主成分分析主要考核得到軟件的計(jì)算結(jié)果后如何選擇主成分個(gè)數(shù)，由于主成分一般不具有 明確的意義，因此不考核主成分的解釋，這會(huì)放在因子分析考核。該題是一個(gè)很標(biāo)準(zhǔn)的題目，答 案可以從任何一本教科書(shū)上找到。請(qǐng)注意題干中的“大致原則”，說(shuō)明該原則在不同的運(yùn)用場(chǎng)合 下選擇標(biāo)準(zhǔn)會(huì)略有改變

2.主成分分析計(jì)算分為根據(jù)相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差矩陣兩種方式，以下哪種情況適合用相關(guān)系數(shù)計(jì)算（ ）?

A.變量的量綱不同

B. 變量的方差不同

C. 變量的標(biāo)準(zhǔn)差不同

D. 變量的均值不同

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