作者：丁點(diǎn)helper

來(lái)源：丁點(diǎn)幫你

正態(tài)分布，這個(gè)我們從中學(xué)就學(xué)過(guò)的內(nèi)容，真有這么重要嗎？我想，真正學(xué)懂統(tǒng)計(jì)的人對(duì)這一點(diǎn)是不會(huì)質(zhì)疑的，且不談特別高深的統(tǒng)計(jì)理論，徹底弄懂正態(tài)分布是靈活運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中各種假設(shè)檢驗(yàn)方法、看懂p值，理解均數(shù)置信區(qū)間的前提。今天，我嘗試帶著大家搞懂對(duì)于正態(tài)分布你需要知道的所有知識(shí)點(diǎn)。

作為統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，我們會(huì)主要注重思維理解，復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算在此略去。這并非意味著數(shù)學(xué)不重要，對(duì)數(shù)學(xué)的仔細(xì)專(zhuān)研恰恰會(huì)特別輔助理解和掌握，只是對(duì)于大部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的同學(xué)這個(gè)難度不小，所以我們?cè)谶@里會(huì)盡可能少用難懂的數(shù)學(xué)理論，用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言講清最基礎(chǔ)、最重要的邏輯。本篇文章主要來(lái)自于我們微信公眾號(hào)“丁點(diǎn)幫你”的SPSS與統(tǒng)計(jì)思維的系列課程的第七講 二項(xiàng)分布和正態(tài)分布，在這里形成文字是為了不方便看視頻的同學(xué)學(xué)習(xí)和回顧。

1. 從名字說(shuō)起

為什么叫“正態(tài)分布”，也有地方叫“常態(tài)分布”，這兩個(gè)名字都不太直觀，但如果我們各取一字變?yōu)椤罢７植肌保秃馨自?huà)了，而這正是“正態(tài)分布”的本質(zhì)含義，Normal Distribution。它太常見(jiàn)了，基本上能描述所有常見(jiàn)的事物和現(xiàn)象：正常人群的身高、體重、考試成績(jī)、家庭收入等等。這里的描述是什么意思呢？就是說(shuō)這些指標(biāo)背后的數(shù)據(jù)都會(huì)呈現(xiàn)一種中間密集、兩邊稀疏的特征。以身高為例，服從正態(tài)分布意味著大部分人的身高都會(huì)在人群的平均身高上下波動(dòng)，特別矮和特別高的都比較少見(jiàn)。

你可能不禁要問(wèn)，這是為什么？我們認(rèn)為，這其實(shí)與我們前面所講的同質(zhì)與變異的概念相關(guān)（參見(jiàn)課程第三講 統(tǒng)計(jì)學(xué)核心思維與統(tǒng)計(jì)描述）。因?yàn)槲覀冄芯康膶?duì)象具有同質(zhì)性（比如都是成年的中國(guó)男子），所以其特征往往是趨同的，即存在一個(gè)基準(zhǔn)；但由于個(gè)體變異的存在（當(dāng)然變異不會(huì)太大），這些特征又不是完全一致，所以會(huì)以一定的幅度在基準(zhǔn)的上下波動(dòng)，從而形成了中間密集，兩側(cè)稀疏的特征。

2. 連續(xù)型隨機(jī)變量研究區(qū)間概率

了解了正態(tài)分布的基本思想，我們來(lái)看看實(shí)際應(yīng)用中我們需要掌握的要點(diǎn)。首先，正態(tài)分布屬于“連續(xù)型隨機(jī)變量分布”的一類(lèi)。我們知道，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們不關(guān)注“點(diǎn)概率”，只關(guān)注“區(qū)間概率”，這是什么意思？

我們看這個(gè)例子，假定隨機(jī)變量X指是“北京市成年男子的身高”，理論上它可以取任意正數(shù)，所以我們把它當(dāng)做一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量（連續(xù)型變量，就是指可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值的變量）來(lái)看待。這里，我們先想一想如何計(jì)算P(X =1.87)? 即身高恰好完全exactly等于1.87的概率是多少，這就是所謂的“點(diǎn)概率”。更極端一點(diǎn)，讓隨機(jī)變量Y是[0,1]這個(gè)區(qū)間上的任意一點(diǎn)，那么Y的取值有多少個(gè)呢？無(wú)數(shù)多個(gè)，我們數(shù)不清楚，所以Y 取某一個(gè)具體的值的概率是1除以無(wú)數(shù)，即可以看做是0。于是，這里透露一個(gè)很重要的結(jié)論：連續(xù)型隨機(jī)變量取任意某個(gè)確定的值的概率均為0。因此，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們通常不研究它取某個(gè)特定值的概率，而研究它在某一段區(qū)間上的取值，比如身高在1.70～1.80的概率。

3. 概率密度函數(shù)

對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，“概率密度”可能是最不友好的一個(gè)概念，直接談概率不行嗎，好好的為什么要生出一個(gè)“密度”？的確，沒(méi)有太多數(shù)理基礎(chǔ)，這個(gè)概念著實(shí)不太好理解。雖然文字和數(shù)學(xué)公式上你可能感覺(jué)很陌生，但我們特別熟知的那條中間高、兩邊低的“鐘形曲線(xiàn)”恰恰就是正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)。前面我們講了區(qū)間概率，這里你就可以通過(guò)區(qū)間的角度來(lái)理解概率密度曲線(xiàn)：曲線(xiàn)越高，也就代表著這個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)越密集，簡(jiǎn)單理解成在同樣大小的房子里，這個(gè)房間的人數(shù)更多、更擠。除此之外，另一個(gè)關(guān)于概率密度函數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)是，積分（這里簡(jiǎn)單理解為“密度曲線(xiàn)下面積“即可）等于概率。隨機(jī)變量X在某個(gè)區(qū)間比如（a，b）即a<X<b的概率，就是概率密度曲線(xiàn)在這個(gè)區(qū)間下的面積，數(shù)學(xué)上的表達(dá)就是密度函數(shù)在區(qū)間（a， b）上的積分。所以，概率的大小就是“概率密度函數(shù)曲線(xiàn)下的面積”的大小，這個(gè)不太起眼的概念實(shí)際上就決定了你日后是否能理解假設(shè)假設(shè)中所謂的“拒絕域”。

下圖中的三條曲線(xiàn)f(x)，就是概率密度函數(shù)，各種形式的概率就是相對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)下面積。這里，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好的同學(xué)不用特別深挖積分的計(jì)算過(guò)程，但對(duì)這三張圖與對(duì)應(yīng)的概率表達(dá)形式，同學(xué)們要熟知。

4. 均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

前面說(shuō)對(duì)于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)以及積分不用特別關(guān)注，那真正需要關(guān)注的是什么呢？就是均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。這里需要明確的是，一旦談及正態(tài)分布，我們首先要想到它的兩個(gè)參數(shù)：均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。每次一遇到正態(tài)分布就迅速找這兩個(gè)概念，最好形成條件反射，因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)才是我們?nèi)蘸筮\(yùn)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題的“利器”。

關(guān)于正態(tài)分布均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，我們這里簡(jiǎn)單總結(jié)一下：1）概率密度曲線(xiàn)在均值處達(dá)到最大，并且對(duì)稱(chēng)；2）一旦均值和標(biāo)準(zhǔn)差確定，正態(tài)分布曲線(xiàn)也就確定；3）當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無(wú)限延伸時(shí)，曲線(xiàn)的兩個(gè)尾端也無(wú)限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交；4）正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線(xiàn)下的面積給出，而且其曲線(xiàn)下的總面積等于1 ；5）均值可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線(xiàn)的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線(xiàn)的“陡峭”或“扁平”程度：標(biāo)準(zhǔn)差越大，正態(tài)曲線(xiàn)越扁平；標(biāo)準(zhǔn)差越小，正態(tài)曲線(xiàn)越陡峭。這是因?yàn)椋?a href='/map/biaozhuncha/' style='color:#000;font-size:inherit;'>標(biāo)準(zhǔn)差越小，意味著大多數(shù)變量值離均數(shù)的距離越短，因此大多數(shù)值都緊密地聚集在均數(shù)周?chē)?，圖形所能覆蓋的變量值就少些（比如1±0.1涵蓋[0.9，1.1]），于是都擠在一塊，圖形上呈現(xiàn)瘦高型。相反，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)跨度就比較大，分散程度大，所覆蓋的變量值就越多（比如1±0.5涵蓋[0.5，1.5]），圖形呈現(xiàn)“矮胖型”。

我們可以對(duì)照下圖直觀地看一下，圖中黃色曲線(xiàn)為A，藍(lán)色曲線(xiàn)為B，紫紅色曲線(xiàn)為C。如圖，我們可以看到均數(shù)的大小決定了曲線(xiàn)的位置，標(biāo)準(zhǔn)差的大小決定了曲線(xiàn)的胖瘦。A和B的均值一樣，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，所以形狀不同，根據(jù)我們的描述，圖形越瘦高，標(biāo)準(zhǔn)差越小，圖形越扁平，標(biāo)準(zhǔn)差越大。確實(shí)如此，圖中B的標(biāo)準(zhǔn)差是1/2，小于A的標(biāo)準(zhǔn)差1。

5. 標(biāo)準(zhǔn)化與查表求概率

接下來(lái)，我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)看如何通過(guò)查表法計(jì)算正態(tài)分布變量在某個(gè)區(qū)間的概率。首先，我們看這個(gè)問(wèn)題，說(shuō)小明每天上學(xué)的通勤時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量X，這個(gè)變量服從正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)他過(guò)去20天的通勤時(shí)間（單位：分鐘）：26、33、65、28、34、55、25、44、50、36、26、37、43、62、35、38、45、32、28、34?，F(xiàn)在我們想知道他上學(xué)花30~45分鐘的概率。

首先，我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，要算他上學(xué)花30~45分鐘的概率，就是求P（30 < X < 45）。之前我們一直強(qiáng)調(diào)，一個(gè)變量服從正態(tài)分布，就要立馬考慮到它的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是多少。這里我們簡(jiǎn)化一下用他過(guò)去20天的樣本數(shù)據(jù)來(lái)代替。所以，我們首先計(jì)算這20天通勤時(shí)間的樣本均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差，分別為38.8（分鐘）和11.4（分鐘）。

然后，我們進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這一步很重要，也稱(chēng)z變換。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化，所有服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量都變成了服從均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對(duì)于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，專(zhuān)門(mén)用z表示。因此，求P（30 < X < 45），就轉(zhuǎn)換成了求P（-0.77 < Z < 0.54），標(biāo)準(zhǔn)化的具體計(jì)算為：

1. 30 →（30-38.8）/ 11.4 = - 0.77
2. 45 →（45-38.8）/ 11.4 = 0.54
3. X → Z
4. P（30 ≤ X ≤ 45）= P（-0.77 ≤ Z ≤ 0.54）

這里簡(jiǎn)單提醒一下，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后，原來(lái)的曲線(xiàn)的形狀不會(huì)變化，即不會(huì)改變胖瘦，只是位置發(fā)生平移，比如下圖中的例子，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)際上只是均數(shù)從1010移到了0。

完成z變換，我們就通過(guò)可以利用z值表找到對(duì)應(yīng)的概率值。下圖就是z值表，一般的統(tǒng)計(jì)教科書(shū)后面都有，同學(xué)們也可以在網(wǎng)上查到。找不到的同學(xué)，可以關(guān)注我們的微信公眾號(hào)后臺(tái)留言索取。

再三強(qiáng)調(diào)，圖中陰影部分的面積代表的是Z ≤ z的概率（注意是“≤”）。另外，還有兩個(gè)根據(jù)定義成立的兩個(gè)公式：一是P（Z ≥ z）= 1- P（Z ≤ z）；二是P（Z≤-z）= 1-P（Z ≤ z）大家也需要了解。下面我們正式看看怎么查表，前面我們已經(jīng)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求P (-0.77 ≤ Z ≤0.54) = P (Z ≤ 0.54)–P (Z ≤ -0.77)，于是，我們需要找當(dāng)Z≤0.54和Z≤-0.77的概率值然后相減即可。

先看Z≤0.54的P值，對(duì)照下圖，首先看表格最左邊那一列，找到0.5，然后，因?yàn)?.54的第二位小數(shù)是4，所以定位到頂行找到“4”那一列，得到0.7054；同樣的方法，我們找到Z≤-0.77對(duì)應(yīng)的P值0.2206。最后我們就能算出，P (-0.77 ≤ Z ≤0.54) = 0.4848，約等于0.5。因此，我們可以說(shuō)，小明上學(xué)通勤時(shí)間花費(fèi)30~45分鐘的概率是50%，這個(gè)概率還挺大的，占了一半。我們通過(guò)這個(gè)具體的例子詳細(xì)講解了隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間的概率求解，不是因?yàn)檫@個(gè)計(jì)算有多重要，而是想提前給你打好基礎(chǔ)，方便理解假設(shè)檢驗(yàn)及p值等相關(guān)概念。

P (Z ≤ 0.54) = 0.7054

P (Z ≤ -0.77) = 0.2206

6. 三個(gè)百分?jǐn)?shù)：68%，95%，99.7%

熟悉了Z變換、查表求概率，我們來(lái)看看正態(tài)分布運(yùn)用十分廣泛的三個(gè)百分?jǐn)?shù)：68%，95%，99.7%。先看標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們知道一個(gè)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的均數(shù)是0，標(biāo)準(zhǔn)差是1，那除了這兩個(gè)數(shù)字之外，我們還能獲得更多的信息嗎？可以，這三個(gè)百分?jǐn)?shù)告訴了我們答案?？聪旅孢@3個(gè)圖：

雖然理論上正態(tài)隨機(jī)變量可以取無(wú)數(shù)個(gè)值，定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)軸，但實(shí)際上在[-1，1]這個(gè)區(qū)間就包含了它可以取的68%的值，[-2，2]區(qū)間包含了95%的值，[-3，3]包含了它可能取的99.7%的值。這里的1，2，3分別代表一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）。所以，根據(jù)這些，我們就可以推斷，一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，它的取值很不可能超過(guò)2，極不可能超過(guò)3。這個(gè)用處非常大，一下子把我們要研究的重心從整個(gè)實(shí)數(shù)軸縮小到[-3，3]這個(gè)區(qū)間。另外，這里雖然是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例進(jìn)行說(shuō)明，但這個(gè)性質(zhì)是完全可以推到普通的正態(tài)分布的變量的。百分?jǐn)?shù)不變，不過(guò)均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差不再是0和1，而是代入具體分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差即可。下面我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際應(yīng)用的例子。

某小學(xué)學(xué)生身高的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.4（米）和0.15（米），我們知道身高一般是服從正態(tài)分布的，由此我們可以知道這個(gè)學(xué)校有68%的學(xué)生的身高在1.25到1.55，這里的1.25和1.55就是1.4加減0.15得到的（均數(shù)加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），有95%的學(xué)生身高在1.1到1.7之間（均數(shù)加減兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），由此便極大地提升了我們對(duì)數(shù)據(jù)的掌握程度。講完這些你會(huì)發(fā)現(xiàn)一種巧妙的求解均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的方法：如果我們知道了某個(gè)變量的95%區(qū)間的取值（關(guān)于均值對(duì)稱(chēng)），我們就可以算出對(duì)應(yīng)的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而幾乎知道了一切。

以上即為梳理的有關(guān)正態(tài)分布的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，希望大家在遇到假設(shè)檢驗(yàn)和p值等概念的理解障礙時(shí)能回頭看看這些最基礎(chǔ)的要點(diǎn)，相信對(duì)你會(huì)有所幫助。

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