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首頁大數(shù)據(jù)時(shí)代與線性回歸相比，你怎么看生存函數(shù)和生存曲線？
與線性回歸相比，你怎么看生存函數(shù)和生存曲線？
2020-09-30
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作者：丁點(diǎn)helper

來源：丁點(diǎn)幫你

前文我們?cè)斀膺^線性回歸，也初步介紹了生存分析所涉及的生存數(shù)據(jù)，明白了：做生存分析最特殊的一點(diǎn)是分析時(shí)要納入研究對(duì)象的“生存時(shí)間”，更一般的是指：出現(xiàn)某種特定結(jié)局的時(shí)間。今天的文章，我們更進(jìn)一步地來學(xué)習(xí)如何看懂生存函數(shù)和生存曲線。

生存概率和死亡概率

在進(jìn)入正題之前，我們需要首先明確兩個(gè)概念：生存概率與死亡概率。

1. 生存概率（survival probability），用p表示，是指某時(shí)段開始時(shí)存活的個(gè)體，到該時(shí)段結(jié)束時(shí)仍存活的可能性。

說起來好像有點(diǎn)兒嚇人，但是計(jì)算起來很簡(jiǎn)單：

2. 死亡概率(probability of death)，與生存概率相對(duì)， 用 q 表示，指某時(shí)段開始時(shí)存活的個(gè)體，在該時(shí)段內(nèi)死亡的可能性。如年死亡概率表示年初尚存人口在今后1年內(nèi)死亡的可能性。

p + q = 1。

介紹完這兩個(gè)基礎(chǔ)概念后，我們來看看什么叫生存函數(shù)（survival function）。

生存率

教科書的定義是：生存函數(shù)表示觀察對(duì)象的生存時(shí)間T大于某個(gè)時(shí)間的概率，常用 S(t)表示。

生存函數(shù)又稱為累積生存率，簡(jiǎn)稱生存率(survival rate)。例如，前文談到的肺癌患者，其生存函數(shù)可以寫作：

代表患者治療后存活時(shí)間大于18個(gè)月的概率，該值越大表明治療的療效越好。這里有一個(gè)點(diǎn)很容易混淆，S（t）表示生存率，而前面我們用p代表的是生存概率。一個(gè)是生存率，另一個(gè)是生存概率，難道不是一回事兒?jiǎn)幔?

還真不是！生存率與生存概率雖然一字之差但定義卻不大相同（當(dāng)然兩者也存在聯(lián)系）。

還是上面的T=18的例子，對(duì)于生存率和生存概率，我們可以分別這樣來寫：

生存率：S(t=18)=P(T>18)

生存概率： P(t=18)=P(T=18)

看上面的式子，生存率的計(jì)算是用“＞”，而生存概率的計(jì)算是“=”。由此，生存概率是指單位時(shí)間上生存的可能性，生存率是某個(gè)時(shí)間段（由一個(gè)或多個(gè)單位時(shí)間組成的時(shí)間段）生存的可能性，是多個(gè)單位時(shí)間生存概率的累計(jì)結(jié)果。

比如評(píng)價(jià)肺癌治療后3年的生存率，是指第一年存活，第二年存活，直至第三年仍然存活的累積概率，而這3年間每一年都會(huì)有不同的生存概率，兩者之間的關(guān)系如下圖：

數(shù)學(xué)上，生存率和生存概率也有如下的計(jì)算關(guān)系：

生存曲線

除了計(jì)算某個(gè)時(shí)刻（從開始到該時(shí)刻的整個(gè)時(shí)間段）的生存率之外，我們還可以利用圖示法更加直觀地描述生存率隨生存時(shí)間的變化而變化。

下圖即為根據(jù)某項(xiàng)研究制定的生存曲線：橫軸是生存時(shí)間，縱軸是生存率。

如上圖，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)T=11.124時(shí)，對(duì)應(yīng)的生存率是0.5。

隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，部分患者死亡，從而導(dǎo)致生存函數(shù)的值會(huì)逐漸降低。從圖形上看，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，生存函數(shù)的值趨于0，意味著，長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，每位患者的生存時(shí)間都是有限的，不可能無限活下去。

在實(shí)際應(yīng)用中如何來估算生存率呢？也很簡(jiǎn)單，若數(shù)據(jù)中無刪失值（不懂什么是刪失，戳此閱讀），某時(shí)刻的生存率可用下式估計(jì)（有刪失的情況要更復(fù)雜一些）：

一般而言，生存分析的主要應(yīng)用如下：

1．描述生存時(shí)間的分布特點(diǎn)。通過生存時(shí)間和生存結(jié)局的數(shù)據(jù)估計(jì)平均存活時(shí)間及生存率，繪制生存曲線，根據(jù)生存曲線分析其生存特點(diǎn)等。

2．比較生存曲線。通過相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)不同樣本的生存曲線進(jìn)行比較，以推斷各總體的生存狀況是否存在差別，比較不同治療方法預(yù)后效果的差異。

3．分析影響生存狀況的因素。通過生存分析模型來探討影響生存狀況的因素，通常以生存時(shí)間和結(jié)局作為因變量，而將可能的影響因素作為自變量，通過擬合生存分析模型，篩選具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的生存狀況的影響因素。

具體在實(shí)際應(yīng)用中如何進(jìn)行生存函數(shù)的估計(jì)而實(shí)現(xiàn)上述應(yīng)用，這就是我們下篇文章將要給大家?guī)淼膬?nèi)容了。


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