作者：丁點(diǎn)helper

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前文我們已經(jīng)講解了相關(guān)與回歸的基礎(chǔ)知識(shí)，并且重點(diǎn)討論了多重線性回歸的應(yīng)用與診斷分析。今天的文章，我們來(lái)看看日常學(xué)習(xí)和科研中應(yīng)用同樣廣泛的另一類(lèi)回歸分析——Logistic回歸。

Logisti回歸與多重線性回歸的區(qū)別

多重線性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱(chēng)簡(jiǎn)單線性回歸。

讀過(guò)我們前面“線性回歸”系列文章的同學(xué)，肯定已經(jīng)知道，采用線性回歸的第一準(zhǔn)則：因變量Y需要是“定量變量”。

例如得分、收入等連續(xù)型的，可以計(jì)算均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的變量。而Logistic回歸最大的不同在于：Y是分類(lèi)變量。

Logistic回歸的Y是分類(lèi)變量（這句話希望大家在心里默讀三遍）這是進(jìn)行Logistic回歸最基本的條件。

什么是分類(lèi)變量呢？大家最常見(jiàn)的可能是：發(fā)病與不發(fā)病。

比如我們用Y來(lái)表示“是否患有糖尿病”，用Y=1表示“患病”；用Y=0，表示“不患病”，這里的Y就是一個(gè)典型的二分類(lèi)變量。

此時(shí)，當(dāng)我們希望通過(guò)回歸分析的方法來(lái)探討“糖尿病患病與否的影響因素”，則應(yīng)該選擇“Logistic回歸分析”。

同多重線性回歸一致，對(duì)進(jìn)行Logistic回歸分析的自變量X并沒(méi)有限制，可以是定量變量，如年齡，也可以是分類(lèi)變量，如性別等等。

所以，按照我們前面文章所強(qiáng)調(diào)的，進(jìn)行研究前首先要找XYZ（自變量、因變量和控制變量），當(dāng)考慮是進(jìn)行多重線性回歸，還是Logistic回歸時(shí)，原則上只需看Y（即因變量、或稱(chēng)反應(yīng)變量）的類(lèi)型：

定量變量就用多重線性回歸，分類(lèi)就用Logistic回歸。

線性概率模型

多重線性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱(chēng)簡(jiǎn)單線性回歸。

理清了Logistic回歸與一般線性回歸的區(qū)別后，我們?cè)賮?lái)看看Logistic回歸是如何構(gòu)造出來(lái)的。

在這之間，我們要先介紹一個(gè)新詞：線性概率模型。什么叫線性概率模型，它與Logistic回歸有什么關(guān)系？我們一一道來(lái)。

首先，既然大家都叫“回歸”，Logistic回歸與線性回歸當(dāng)然存在聯(lián)系的。

實(shí)際上，Logistic回歸僅僅只是對(duì)線性回歸的因變量進(jìn)行了一個(gè)變換，模型的主體結(jié)構(gòu)仍然屬于“線性回歸”。

仍然以“糖尿病患病的影響因素”為例進(jìn)行說(shuō)明。

某研究團(tuán)隊(duì)想要探討某地區(qū)糖尿病患病的影響因素，收集了如下數(shù)據(jù)：

上述數(shù)據(jù)的賦值說(shuō)明如下：

本研究的目的是獲得“影響因素”，因此，除變量Y（是否患病）以外，其他所有因素都可以作為潛在的影響因素（即自變量X納入）模型。如上表，Y屬于二分類(lèi)變量，其取值模式是“0、0、0…1、1、1”，其中“1”表示“是”；“0”表示“否”，所以符合進(jìn)行Logistic回歸的基本條件。

在Logistic回歸誕生之前，人們首先考慮的是按照“多重線性回歸”的方法，忽略變量Y的變量類(lèi)型，直接將Y與各個(gè)X強(qiáng)行進(jìn)行多重線性回歸。

在前文，我們講過(guò)Y上面添加一個(gè)“^”符號(hào)，表示Y的估計(jì)值。結(jié)合本例，如果我們將是否患有糖尿病與各個(gè)X進(jìn)行回歸，也會(huì)得到Y(jié)的估計(jì)值?？墒侨绾谓忉屵@個(gè)估值值呢？人們想出一個(gè)辦法：概率。

概率是我們?cè)谥袑W(xué)就接觸過(guò)的內(nèi)容，表示的是“某個(gè)事件發(fā)生可能性的大小”，比如某人患糖尿病的概率是80%，意味著他的患病風(fēng)險(xiǎn)比較高。

當(dāng)我們從概率的角度進(jìn)行線性回歸時(shí)，得到的模型特稱(chēng)為“線性概率模型”。

如上式，我們用P來(lái)表示Y的估計(jì)值，專(zhuān)門(mén)代表患病概率。什么意思呢？我們現(xiàn)在構(gòu)造的模型是用來(lái)研究各個(gè)影響因素與糖尿病患病概率的相關(guān)關(guān)系，不再是是否發(fā)病。

也就是說(shuō)，通過(guò)模型，我們可以計(jì)算出預(yù)測(cè)值，此時(shí)的預(yù)測(cè)值代表該對(duì)象患糖尿病的可能性大小。

這個(gè)地方需要特別理清的是，每一個(gè)研究對(duì)象是否患有糖尿病我們提前已經(jīng)知曉。如上表，變量Y=0，意味著“沒(méi)有患病”，Y=1，表示“患病”。

可是現(xiàn)在又說(shuō)預(yù)測(cè)值代表他患病的可能性大小，都已經(jīng)患病了，再算患病可能性還有意義嗎？

當(dāng)然是有的，這就是回歸分析，或者整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，用已經(jīng)發(fā)生的事情作為樣本來(lái)推測(cè)事物間的規(guī)律。

這里的預(yù)測(cè)值是根據(jù)模型（即根據(jù)X所計(jì)算的），雖然并非實(shí)際情況，但我們可以推測(cè)：如果模型預(yù)測(cè)效果好，那對(duì)于某一名已經(jīng)患病的對(duì)象而言，其預(yù)測(cè)值（即患病概率）應(yīng)該接近于1，表明患糖尿病概率很高。

反之，對(duì)于沒(méi)有患病的人群（即Y=0），根據(jù)模型計(jì)算的患病概率則應(yīng)該接近0，即患病概率低。

確實(shí)如此，上述線性概率模型并非理論假想，而是存在實(shí)際應(yīng)用，它與多重線性回歸的思路和操作方法完全相同。

唯一特殊的是，這里“Y”的預(yù)測(cè)值專(zhuān)門(mén)由“P”表示，指代概率。這種方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域十分廣泛，常與Logistic回歸結(jié)合使用。

Logistic回歸的由來(lái)

多重線性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱(chēng)簡(jiǎn)單線性回歸。

 但是，這個(gè)“線性概率模型”有一個(gè)很?chē)?yán)重或者說(shuō)“致命”的問(wèn)題。根據(jù)模型來(lái)看，Y的估計(jì)值（即這里的P）理論上可以取所有實(shí)數(shù)?？墒?，對(duì)于大于1或者小于0的預(yù)測(cè)值，該做何種解釋呢？

常識(shí)告訴我們，概率（即可能性）不會(huì)大于“1”或者小于“0”，可是通過(guò)模型計(jì)算出來(lái)的預(yù)測(cè)概率幾乎一定會(huì)出現(xiàn)大于1或小于0的情形。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們就考慮對(duì)P進(jìn)行變換。數(shù)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，通過(guò)對(duì)P進(jìn)行如下變換即可解決問(wèn)題：logit (P) = ln (P/1-P)，(其中l(wèi)n為自然對(duì)數(shù)函數(shù))。

這個(gè)變換即所謂的“l(fā)ogit”變換，通過(guò)對(duì)P進(jìn)行變換之后再次納入回歸模型，得到的模型即為“Logistic回歸模型”：

在實(shí)際應(yīng)用中，這些變換當(dāng)然不再需要我們手動(dòng)操作，只需要把數(shù)據(jù)整理成上述上述表格中的形式，SPSS軟件會(huì)進(jìn)行完整的分析過(guò)程。

但我們需要特別明確的是，進(jìn)行Logistic回歸后，軟件輸出的“預(yù)測(cè)值”，就是這里的“P”，即概率，均是0-1的數(shù)字。

所以，如果從整體來(lái)看（將logit(P)看做一個(gè)整體），Logistic回歸模型仍然是一個(gè)線性回歸模型，一般稱(chēng)作“廣義線性回歸”。