作者：丁點(diǎn)helper

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前幾天的文章，我們聚焦在回歸分析，今天來(lái)看看在回歸分析中常常要研究的一類(lèi)難點(diǎn)問(wèn)題——交互作用的探究。

交互（interaction），字面上不太好理解，但是從數(shù)學(xué)表達(dá)上卻很簡(jiǎn)單。

如果想要研究?jī)蓚€(gè)自變量如X1和X2的交互作用，通常的做法就是將兩個(gè)變量相乘，即X1*X2，然后把乘積項(xiàng)納入到回歸方程。

操作起來(lái)很簡(jiǎn)單，但交互項(xiàng)的納入對(duì)于回歸系數(shù)的解讀卻帶來(lái)了新的問(wèn)題。

以一個(gè)很經(jīng)典的例子來(lái)說(shuō)明。

含交互項(xiàng)的回歸方程

多重線(xiàn)性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸。

我們想通過(guò)線(xiàn)性回歸研究教育程度、性別對(duì)個(gè)人收入的影響，首先，不納入交互項(xiàng)的回歸方程為：

其中，Y表示收入，X1表示“教育年限”（定量變量），X2表示“性別”（分類(lèi)變量，用”0“為女性；“1“表示男性）。

通過(guò)估計(jì)以上回歸方程X1和X2的回歸系數(shù)，β1和β2，即可定量地衡量出教育程度、性別對(duì)收入的影響。

比如，β1的含義即為：控制性別后，教育程度每增加一年，個(gè)人收入增加的量。

這是我們前面講過(guò)的，很好理解。

現(xiàn)在，我們希望考慮”教育程度“和”性別“的交互作用，因此將把兩個(gè)變量的交互項(xiàng)納入回歸方程，即為：

其中，X1X2代表交互項(xiàng)，這里也屬于多重線(xiàn)性回歸的范疇，因?yàn)槲覀兛梢粤頧3=X1X2，將其視為一個(gè)新變量，則上式就可以看做是擁有三個(gè)自變量的一般線(xiàn)性回歸。

思考：現(xiàn)在方程中X1的回歸系數(shù)β1還能按照上面的含義來(lái)解讀嗎？

我們嘗試做一下。

要衡量X1對(duì)Y的作用，歸根結(jié)底，是要看，當(dāng)X1變化一個(gè)單位時(shí)，Y怎么變化（明白這一點(diǎn)很基礎(chǔ)也很重要）。

因此，我們可以這樣來(lái)做：

當(dāng)X1=0時(shí)（代入有交互項(xiàng)的方程，下同），

由此，可以發(fā)現(xiàn)，加入交互項(xiàng)后，X1（即教育程度），每變化一個(gè)單位（比如增加一年），收入的變化不僅取決于β1，而且還取決于β3和X2。

因此，我們不能再直接將β1解讀為教育程度對(duì)收入的影響。

同理，β2也不能直接解讀為性別對(duì)收入的影響。

在這樣的情況下，到底應(yīng)該如何來(lái)對(duì)這三個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行解讀呢？思路其實(shí)很簡(jiǎn)單，訣竅就是分別讓X1和X2等于0。

由此來(lái)看，加入交互作用后，回歸系數(shù)（β1和β2）的解讀需要加入一定的限定條件，比如”教育程度為0“、或者特定為“女性人群“。

這實(shí)際上是出于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)考慮：因?yàn)樽屢粋€(gè)變量等于0，我們就可以消除交互項(xiàng)，然后單獨(dú)地分析另一個(gè)變量的效應(yīng)，這種思路特別方便，大家不妨在自己的研究中使用。

說(shuō)完β1和β2，那β3怎么解讀呢？嚴(yán)格而言，β3才是真正交互項(xiàng)的系數(shù)，才是做交互研究最關(guān)注的部分。

交互項(xiàng)回歸系數(shù)的解讀

多重線(xiàn)性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸。

上面我們講了β1的含義是”對(duì)于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量“。很自然的想，那對(duì)于男性人群，教育每增加一年，收入增加多少呢？

前面我們計(jì)算了，X1從0變化到1時(shí)，

我們知道，X2表示的是性別這個(gè)變量，X2=1代表男性，那如果我們直接把X2=1代入上式呢：

由此，我們就得到了：對(duì)于X2=1（即男性人群），當(dāng)X1增加一個(gè)單位時(shí)，Y的變化量為（β1 + β3）。

因此，可以把（β1 + β3）解讀為：對(duì)于男性人群，教育程度每增加一年，收入的增加量。

把男性和女性放在一起對(duì)照看一下：

β1：對(duì)于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

β1 + β3：對(duì)于男性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

現(xiàn)在，β3（即交互項(xiàng)的回歸系數(shù)）的含義是不是一目了然。它表示，教育程度每增加一年時(shí)，男性和女性收入增加的差值。

代入具體的數(shù)字看起來(lái)會(huì)更容易。

比如，我們讓?duì)? = 200；β2 = 300；β3 = 50，就可以很清楚地看到：

對(duì)于女性來(lái)講，教育程度每增加一年，收入會(huì)增加200（β1 的含義）；

對(duì)于男性來(lái)講，教育程度每增加一年，收入會(huì)增加250（β1 + β3的含義）。

而β3就表示，同樣增加一年的教育程度，收入的增加量，男性比女性多50。

這多出來(lái)的50就衡量了性別和教育的交互作用。

理清了這三個(gè)系數(shù)的意義，我們?cè)賮?lái)看交互作用的真正含義，就會(huì)更加明朗：

交互作用實(shí)際上影響的是一種關(guān)系，什么關(guān)系？X1和Y的關(guān)系，或者X2和Y的關(guān)系。

此話(huà)怎講？我們看，當(dāng)不加入交互項(xiàng)的時(shí)候，無(wú)論男性還是女性，教育程度增加一年，收入的增加量是一樣的，都為β1。

這里的β1 可以視作教育程度對(duì)收入的影響，實(shí)際上是兩者相關(guān)關(guān)系的量化。

但是，加入交互作用后，教育程度增加一年，收入的增加量，男性和女性就不一樣了，一個(gè)是β1 + β3，另一個(gè)是β1。

不難發(fā)現(xiàn)，教育程度對(duì)收入的影響隨著性別的變化發(fā)生了變化。

所以，從本質(zhì)上看，交互項(xiàng)衡量的了性別對(duì)【教育程度與收入關(guān)系】的影響。用括號(hào)括起來(lái)就是希望大家能看的更清楚：性別和教育的交互項(xiàng)影響的既不是教育程度也不是收入，而是它們兩者的關(guān)系。

如果數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò)，則可以將“【教育程度與收入關(guān)系】”理解為回歸方程的X1（教育程度）的斜率（斜率的定義就是X1變化一個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的Y的變化量），所以，本質(zhì)上，交互項(xiàng)影響的是斜率！

同樣地，交互項(xiàng)因?yàn)槭浅朔e的形式，所以它也衡量了教育程度對(duì)（性別與收入關(guān)系）的影響。

如何進(jìn)行分析，做法其實(shí)完全一致，首先分別計(jì)算X2=0和X2=1時(shí)候，Y的變化量（代表了男女收入的差異）：

我們知道X2表示性別，所以，根據(jù)上式，可以將β3解讀為：教育程度的變化，帶來(lái)的男女收入水平差異的變化，注意這里說(shuō)的是”差異“，即男性工資高于女性的那一部分（如果β3是負(fù)數(shù)，則表示男性工資更低）。

因此，綜合來(lái)看，交互項(xiàng)是可以從兩個(gè)角度去理解和解讀的，這符合它進(jìn)入回歸方程的方式（X1X2）。

針對(duì)具體的問(wèn)題，我們都可以采取上面說(shuō)的這種”歸零法“去分析和拆解，即分別一個(gè)自變量等于0，然后分析另一個(gè)自變量回歸系數(shù)的含義。

同時(shí)，專(zhuān)門(mén)對(duì)于交互項(xiàng)的解讀，我們要知道它刻畫(huà)的其實(shí)是對(duì)回歸斜率或者回歸效應(yīng)值（β）的影響。

比如教育程度和性別的交互，既影響了收入對(duì)教育程度的斜率，也影響了收入對(duì)性別的斜率。