
作者:丁點(diǎn)helper
來(lái)源:丁點(diǎn)幫你
前幾天的文章,我們聚焦在回歸分析,今天來(lái)看看在回歸分析中常常要研究的一類(lèi)難點(diǎn)問(wèn)題——交互作用的探究。
交互(interaction),字面上不太好理解,但是從數(shù)學(xué)表達(dá)上卻很簡(jiǎn)單。
如果想要研究?jī)蓚€(gè)自變量如X1和X2的交互作用,通常的做法就是將兩個(gè)變量相乘,即X1*X2,然后把乘積項(xiàng)納入到回歸方程。
操作起來(lái)很簡(jiǎn)單,但交互項(xiàng)的納入對(duì)于回歸系數(shù)的解讀卻帶來(lái)了新的問(wèn)題。
以一個(gè)很經(jīng)典的例子來(lái)說(shuō)明。
含交互項(xiàng)的回歸方程
多重線(xiàn)性回歸,一般是指有多個(gè)自變量X,只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹,兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量,在只有一個(gè)X時(shí),就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸。
我們想通過(guò)線(xiàn)性回歸研究教育程度、性別對(duì)個(gè)人收入的影響,首先,不納入交互項(xiàng)的回歸方程為:
其中,Y表示收入,X1表示“教育年限”(定量變量),X2表示“性別”(分類(lèi)變量,用”0“為女性;“1“表示男性)。
通過(guò)估計(jì)以上回歸方程X1和X2的回歸系數(shù),β1和β2,即可定量地衡量出教育程度、性別對(duì)收入的影響。
比如,β1的含義即為:控制性別后,教育程度每增加一年,個(gè)人收入增加的量。
這是我們前面講過(guò)的,很好理解。
現(xiàn)在,我們希望考慮”教育程度“和”性別“的交互作用,因此將把兩個(gè)變量的交互項(xiàng)納入回歸方程,即為:
其中,X1X2代表交互項(xiàng),這里也屬于多重線(xiàn)性回歸的范疇,因?yàn)槲覀兛梢粤頧3=X1X2,將其視為一個(gè)新變量,則上式就可以看做是擁有三個(gè)自變量的一般線(xiàn)性回歸。
思考:現(xiàn)在方程中X1的回歸系數(shù)β1還能按照上面的含義來(lái)解讀嗎?
我們嘗試做一下。
要衡量X1對(duì)Y的作用,歸根結(jié)底,是要看,當(dāng)X1變化一個(gè)單位時(shí),Y怎么變化(明白這一點(diǎn)很基礎(chǔ)也很重要)。
因此,我們可以這樣來(lái)做:
當(dāng)X1=0時(shí)(代入有交互項(xiàng)的方程,下同),
由此,可以發(fā)現(xiàn),加入交互項(xiàng)后,X1(即教育程度),每變化一個(gè)單位(比如增加一年),收入的變化不僅取決于β1,而且還取決于β3和X2。
因此,我們不能再直接將β1解讀為教育程度對(duì)收入的影響。
同理,β2也不能直接解讀為性別對(duì)收入的影響。
在這樣的情況下,到底應(yīng)該如何來(lái)對(duì)這三個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行解讀呢?思路其實(shí)很簡(jiǎn)單,訣竅就是分別讓X1和X2等于0。
由此來(lái)看,加入交互作用后,回歸系數(shù)(β1和β2)的解讀需要加入一定的限定條件,比如”教育程度為0“、或者特定為“女性人群“。
這實(shí)際上是出于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)考慮:因?yàn)樽屢粋€(gè)變量等于0,我們就可以消除交互項(xiàng),然后單獨(dú)地分析另一個(gè)變量的效應(yīng),這種思路特別方便,大家不妨在自己的研究中使用。
說(shuō)完β1和β2,那β3怎么解讀呢?嚴(yán)格而言,β3才是真正交互項(xiàng)的系數(shù),才是做交互研究最關(guān)注的部分。
交互項(xiàng)回歸系數(shù)的解讀
多重線(xiàn)性回歸,一般是指有多個(gè)自變量X,只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹,兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量,在只有一個(gè)X時(shí),就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸。
上面我們講了β1的含義是”對(duì)于女性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量“。很自然的想,那對(duì)于男性人群,教育每增加一年,收入增加多少呢?
前面我們計(jì)算了,X1從0變化到1時(shí),
我們知道,X2表示的是性別這個(gè)變量,X2=1代表男性,那如果我們直接把X2=1代入上式呢:
由此,我們就得到了:對(duì)于X2=1(即男性人群),當(dāng)X1增加一個(gè)單位時(shí),Y的變化量為(β1 + β3)。
因此,可以把(β1 + β3)解讀為:對(duì)于男性人群,教育程度每增加一年,收入的增加量。
把男性和女性放在一起對(duì)照看一下:
β1:對(duì)于女性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量。
β1 + β3:對(duì)于男性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量。
現(xiàn)在,β3(即交互項(xiàng)的回歸系數(shù))的含義是不是一目了然。它表示,教育程度每增加一年時(shí),男性和女性收入增加的差值。
代入具體的數(shù)字看起來(lái)會(huì)更容易。
比如,我們讓?duì)? = 200;β2 = 300;β3 = 50,就可以很清楚地看到:
對(duì)于女性來(lái)講,教育程度每增加一年,收入會(huì)增加200(β1 的含義);
對(duì)于男性來(lái)講,教育程度每增加一年,收入會(huì)增加250(β1 + β3的含義)。
而β3就表示,同樣增加一年的教育程度,收入的增加量,男性比女性多50。
這多出來(lái)的50就衡量了性別和教育的交互作用。
理清了這三個(gè)系數(shù)的意義,我們?cè)賮?lái)看交互作用的真正含義,就會(huì)更加明朗:
交互作用實(shí)際上影響的是一種關(guān)系,什么關(guān)系?X1和Y的關(guān)系,或者X2和Y的關(guān)系。
此話(huà)怎講?我們看,當(dāng)不加入交互項(xiàng)的時(shí)候,無(wú)論男性還是女性,教育程度增加一年,收入的增加量是一樣的,都為β1。
這里的β1 可以視作教育程度對(duì)收入的影響,實(shí)際上是兩者相關(guān)關(guān)系的量化。
但是,加入交互作用后,教育程度增加一年,收入的增加量,男性和女性就不一樣了,一個(gè)是β1 + β3,另一個(gè)是β1。
不難發(fā)現(xiàn),教育程度對(duì)收入的影響隨著性別的變化發(fā)生了變化。
所以,從本質(zhì)上看,交互項(xiàng)衡量的了性別對(duì)【教育程度與收入關(guān)系】的影響。用括號(hào)括起來(lái)就是希望大家能看的更清楚:性別和教育的交互項(xiàng)影響的既不是教育程度也不是收入,而是它們兩者的關(guān)系。
如果數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò),則可以將“【教育程度與收入關(guān)系】”理解為回歸方程的X1(教育程度)的斜率(斜率的定義就是X1變化一個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的Y的變化量),所以,本質(zhì)上,交互項(xiàng)影響的是斜率!
同樣地,交互項(xiàng)因?yàn)槭浅朔e的形式,所以它也衡量了教育程度對(duì)(性別與收入關(guān)系)的影響。
如何進(jìn)行分析,做法其實(shí)完全一致,首先分別計(jì)算X2=0和X2=1時(shí)候,Y的變化量(代表了男女收入的差異):
我們知道X2表示性別,所以,根據(jù)上式,可以將β3解讀為:教育程度的變化,帶來(lái)的男女收入水平差異的變化,注意這里說(shuō)的是”差異“,即男性工資高于女性的那一部分(如果β3是負(fù)數(shù),則表示男性工資更低)。
因此,綜合來(lái)看,交互項(xiàng)是可以從兩個(gè)角度去理解和解讀的,這符合它進(jìn)入回歸方程的方式(X1X2)。
針對(duì)具體的問(wèn)題,我們都可以采取上面說(shuō)的這種”歸零法“去分析和拆解,即分別一個(gè)自變量等于0,然后分析另一個(gè)自變量回歸系數(shù)的含義。
同時(shí),專(zhuān)門(mén)對(duì)于交互項(xiàng)的解讀,我們要知道它刻畫(huà)的其實(shí)是對(duì)回歸斜率或者回歸效應(yīng)值(β)的影響。
比如教育程度和性別的交互,既影響了收入對(duì)教育程度的斜率,也影響了收入對(duì)性別的斜率。
數(shù)據(jù)分析咨詢(xún)請(qǐng)掃描二維碼
若不方便掃碼,搜微信號(hào):CDAshujufenxi
LSTM 模型輸入長(zhǎng)度選擇技巧:提升序列建模效能的關(guān)鍵? 在循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)家族中,長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)(LSTM)憑借其解決長(zhǎng)序列 ...
2025-07-11CDA 數(shù)據(jù)分析師報(bào)考條件詳解與準(zhǔn)備指南? ? 在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策的時(shí)代浪潮下,CDA 數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證愈發(fā)受到矚目,成為眾多有志投身數(shù) ...
2025-07-11數(shù)據(jù)透視表中兩列相乘合計(jì)的實(shí)用指南? 在數(shù)據(jù)分析的日常工作中,數(shù)據(jù)透視表憑借其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)匯總和分析功能,成為了 Excel 用戶(hù) ...
2025-07-11尊敬的考生: 您好! 我們誠(chéng)摯通知您,CDA Level I和 Level II考試大綱將于 2025年7月25日 實(shí)施重大更新。 此次更新旨在確保認(rèn) ...
2025-07-10BI 大數(shù)據(jù)分析師:連接數(shù)據(jù)與業(yè)務(wù)的價(jià)值轉(zhuǎn)化者? ? 在大數(shù)據(jù)與商業(yè)智能(Business Intelligence,簡(jiǎn)稱(chēng) BI)深度融合的時(shí)代,BI ...
2025-07-10SQL 在預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用:從數(shù)據(jù)查詢(xún)到趨勢(shì)預(yù)判? ? 在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策的時(shí)代,預(yù)測(cè)分析作為挖掘數(shù)據(jù)潛在價(jià)值的核心手段,正被廣泛 ...
2025-07-10數(shù)據(jù)查詢(xún)結(jié)束后:分析師的收尾工作與價(jià)值深化? ? 在數(shù)據(jù)分析的全流程中,“query end”(查詢(xún)結(jié)束)并非工作的終點(diǎn),而是將數(shù) ...
2025-07-10CDA 數(shù)據(jù)分析師考試:從報(bào)考到取證的全攻略? 在數(shù)字經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展的今天,數(shù)據(jù)分析師已成為各行業(yè)爭(zhēng)搶的核心人才,而 CDA(Certi ...
2025-07-09【CDA干貨】單樣本趨勢(shì)性檢驗(yàn):捕捉數(shù)據(jù)背后的時(shí)間軌跡? 在數(shù)據(jù)分析的版圖中,單樣本趨勢(shì)性檢驗(yàn)如同一位耐心的偵探,專(zhuān)注于從單 ...
2025-07-09year_month數(shù)據(jù)類(lèi)型:時(shí)間維度的精準(zhǔn)切片? ? 在數(shù)據(jù)的世界里,時(shí)間是最不可或缺的維度之一,而year_month數(shù)據(jù)類(lèi)型就像一把精準(zhǔn) ...
2025-07-09CDA 備考干貨:Python 在數(shù)據(jù)分析中的核心應(yīng)用與實(shí)戰(zhàn)技巧? ? 在 CDA 數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證考試中,Python 作為數(shù)據(jù)處理與分析的核心 ...
2025-07-08SPSS 中的 Mann-Kendall 檢驗(yàn):數(shù)據(jù)趨勢(shì)與突變分析的有力工具? ? ? 在數(shù)據(jù)分析的廣袤領(lǐng)域中,準(zhǔn)確捕捉數(shù)據(jù)的趨勢(shì)變化以及識(shí)別 ...
2025-07-08備戰(zhàn) CDA 數(shù)據(jù)分析師考試:需要多久?如何規(guī)劃? CDA(Certified Data Analyst)數(shù)據(jù)分析師認(rèn)證作為國(guó)內(nèi)權(quán)威的數(shù)據(jù)分析能力認(rèn)證 ...
2025-07-08LSTM 輸出不確定的成因、影響與應(yīng)對(duì)策略? 長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)(LSTM)作為循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)的一種變體,憑借獨(dú)特的門(mén)控機(jī)制,在 ...
2025-07-07統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)中的深度應(yīng)用? 市場(chǎng)調(diào)研是企業(yè)洞察市場(chǎng)動(dòng)態(tài)、了解消費(fèi)者需求的重要途徑,而統(tǒng)計(jì)學(xué)方法則是市場(chǎng)調(diào)研數(shù) ...
2025-07-07CDA數(shù)據(jù)分析師證書(shū)考試全攻略? 在數(shù)字化浪潮席卷全球的當(dāng)下,數(shù)據(jù)已成為企業(yè)決策、行業(yè)發(fā)展的核心驅(qū)動(dòng)力,數(shù)據(jù)分析師也因此成為 ...
2025-07-07剖析 CDA 數(shù)據(jù)分析師考試題型:解鎖高效備考與答題策略? CDA(Certified Data Analyst)數(shù)據(jù)分析師考試作為衡量數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)能力的 ...
2025-07-04SQL Server 字符串截取轉(zhuǎn)日期:解鎖數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵技能? 在數(shù)據(jù)處理與分析工作中,數(shù)據(jù)格式的規(guī)范性是保證后續(xù)分析準(zhǔn)確性的基礎(chǔ) ...
2025-07-04CDA 數(shù)據(jù)分析師視角:從數(shù)據(jù)迷霧中探尋商業(yè)真相? 在數(shù)字化浪潮席卷全球的今天,數(shù)據(jù)已成為企業(yè)決策的核心驅(qū)動(dòng)力,CDA(Certifie ...
2025-07-04CDA 數(shù)據(jù)分析師:開(kāi)啟數(shù)據(jù)職業(yè)發(fā)展新征程? ? 在數(shù)據(jù)成為核心生產(chǎn)要素的今天,數(shù)據(jù)分析師的職業(yè)價(jià)值愈發(fā)凸顯。CDA(Certified D ...
2025-07-03