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一文輕松看懂線(xiàn)性回歸分析的交互作用!
2020-09-21
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作者:丁點(diǎn)helper

來(lái)源:丁點(diǎn)幫你

前幾天的文章,我們聚焦在回歸分析,今天來(lái)看看在回歸分析中常常要研究的一類(lèi)難點(diǎn)問(wèn)題——交互作用的探究。

交互(interaction),字面上不太好理解,但是從數(shù)學(xué)表達(dá)上卻很簡(jiǎn)單。

如果想要研究?jī)蓚€(gè)自變量如X1和X2的交互作用,通常的做法就是將兩個(gè)變量相乘,即X1*X2,然后把乘積項(xiàng)納入到回歸方程。

操作起來(lái)很簡(jiǎn)單,但交互項(xiàng)的納入對(duì)于回歸系數(shù)的解讀卻帶來(lái)了新的問(wèn)題。

以一個(gè)很經(jīng)典的例子來(lái)說(shuō)明。

含交互項(xiàng)的回歸方程

多重線(xiàn)性回歸,一般是指有多個(gè)自變量X,只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹,兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量,在只有一個(gè)X時(shí),就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸。

我們想通過(guò)線(xiàn)性回歸研究教育程度、性別對(duì)個(gè)人收入的影響,首先,不納入交互項(xiàng)的回歸方程為:

其中,Y表示收入,X1表示“教育年限”(定量變量),X2表示“性別”(分類(lèi)變量,用”0“為女性;“1“表示男性)。

通過(guò)估計(jì)以上回歸方程X1和X2的回歸系數(shù),β1和β2,即可定量地衡量出教育程度、性別對(duì)收入的影響。

比如,β1的含義即為:控制性別后,教育程度每增加一年,個(gè)人收入增加的量。

這是我們前面講過(guò)的,很好理解。

現(xiàn)在,我們希望考慮”教育程度“和”性別“的交互作用,因此將把兩個(gè)變量的交互項(xiàng)納入回歸方程,即為:

其中,X1X2代表交互項(xiàng),這里也屬于多重線(xiàn)性回歸的范疇,因?yàn)槲覀兛梢粤頧3=X1X2,將其視為一個(gè)新變量,則上式就可以看做是擁有三個(gè)自變量的一般線(xiàn)性回歸。

思考:現(xiàn)在方程中X1的回歸系數(shù)β1還能按照上面的含義來(lái)解讀嗎?

我們嘗試做一下。

要衡量X1對(duì)Y的作用,歸根結(jié)底,是要看,當(dāng)X1變化一個(gè)單位時(shí),Y怎么變化(明白這一點(diǎn)很基礎(chǔ)也很重要)。

因此,我們可以這樣來(lái)做:

當(dāng)X1=0時(shí)(代入有交互項(xiàng)的方程,下同),

由此,可以發(fā)現(xiàn),加入交互項(xiàng)后,X1(即教育程度),每變化一個(gè)單位(比如增加一年),收入的變化不僅取決于β1,而且還取決于β3和X2。

因此,我們不能再直接將β1解讀為教育程度對(duì)收入的影響。

同理,β2也不能直接解讀為性別對(duì)收入的影響。

在這樣的情況下,到底應(yīng)該如何來(lái)對(duì)這三個(gè)回歸系數(shù)進(jìn)行解讀呢?思路其實(shí)很簡(jiǎn)單,訣竅就是分別讓X1和X2等于0。

由此來(lái)看,加入交互作用后,回歸系數(shù)(β1和β2)的解讀需要加入一定的限定條件,比如”教育程度為0“、或者特定為“女性人群“。

這實(shí)際上是出于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)考慮:因?yàn)樽屢粋€(gè)變量等于0,我們就可以消除交互項(xiàng),然后單獨(dú)地分析另一個(gè)變量的效應(yīng),這種思路特別方便,大家不妨在自己的研究中使用。

說(shuō)完β1和β2,那β3怎么解讀呢?嚴(yán)格而言,β3才是真正交互項(xiàng)的系數(shù),才是做交互研究最關(guān)注的部分。

交互項(xiàng)回歸系數(shù)的解讀

多重線(xiàn)性回歸,一般是指有多個(gè)自變量X,只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸為例在介紹,兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量,在只有一個(gè)X時(shí),就稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸

上面我們講了β1的含義是”對(duì)于女性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量“。很自然的想,那對(duì)于男性人群,教育每增加一年,收入增加多少呢?

前面我們計(jì)算了,X1從0變化到1時(shí),

我們知道,X2表示的是性別這個(gè)變量,X2=1代表男性,那如果我們直接把X2=1代入上式呢:

由此,我們就得到了:對(duì)于X2=1(即男性人群),當(dāng)X1增加一個(gè)單位時(shí),Y的變化量為(β1 + β3)。

因此,可以把(β1 + β3)解讀為:對(duì)于男性人群,教育程度每增加一年,收入的增加量。

把男性和女性放在一起對(duì)照看一下:

β1:對(duì)于女性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量。

β1 + β3:對(duì)于男性人群,教育程度每增加一年,其收入的增加量。

現(xiàn)在,β3(即交互項(xiàng)的回歸系數(shù))的含義是不是一目了然。它表示,教育程度每增加一年時(shí),男性和女性收入增加的差值。

代入具體的數(shù)字看起來(lái)會(huì)更容易。

比如,我們讓?duì)? = 200;β2 = 300;β3 = 50,就可以很清楚地看到:

對(duì)于女性來(lái)講,教育程度每增加一年,收入會(huì)增加200(β1 的含義);

對(duì)于男性來(lái)講,教育程度每增加一年,收入會(huì)增加250(β1 + β3的含義)。

而β3就表示,同樣增加一年的教育程度,收入的增加量,男性比女性多50。

這多出來(lái)的50就衡量了性別和教育的交互作用。

理清了這三個(gè)系數(shù)的意義,我們?cè)賮?lái)看交互作用的真正含義,就會(huì)更加明朗:

交互作用實(shí)際上影響的是一種關(guān)系,什么關(guān)系?X1和Y的關(guān)系,或者X2和Y的關(guān)系。

此話(huà)怎講?我們看,當(dāng)不加入交互項(xiàng)的時(shí)候,無(wú)論男性還是女性,教育程度增加一年,收入的增加量是一樣的,都為β1。

這里的β1 可以視作教育程度對(duì)收入的影響,實(shí)際上是兩者相關(guān)關(guān)系的量化。

但是,加入交互作用后,教育程度增加一年,收入的增加量,男性和女性就不一樣了,一個(gè)是β1 + β3,另一個(gè)是β1。

不難發(fā)現(xiàn),教育程度對(duì)收入的影響隨著性別的變化發(fā)生了變化。

所以,從本質(zhì)上看,交互項(xiàng)衡量的了性別對(duì)【教育程度與收入關(guān)系】的影響。用括號(hào)括起來(lái)就是希望大家能看的更清楚:性別和教育的交互項(xiàng)影響的既不是教育程度也不是收入,而是它們兩者的關(guān)系。

如果數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò),則可以將“【教育程度與收入關(guān)系】”理解為回歸方程的X1(教育程度)的斜率(斜率的定義就是X1變化一個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的Y的變化量),所以,本質(zhì)上,交互項(xiàng)影響的是斜率!

同樣地,交互項(xiàng)因?yàn)槭浅朔e的形式,所以它也衡量了教育程度對(duì)(性別與收入關(guān)系)的影響。

如何進(jìn)行分析,做法其實(shí)完全一致,首先分別計(jì)算X2=0和X2=1時(shí)候,Y的變化量(代表了男女收入的差異):

我們知道X2表示性別,所以,根據(jù)上式,可以將β3解讀為:教育程度的變化,帶來(lái)的男女收入水平差異的變化,注意這里說(shuō)的是”差異“,即男性工資高于女性的那一部分(如果β3是負(fù)數(shù),則表示男性工資更低)。

因此,綜合來(lái)看,交互項(xiàng)是可以從兩個(gè)角度去理解和解讀的,這符合它進(jìn)入回歸方程的方式(X1X2)。

針對(duì)具體的問(wèn)題,我們都可以采取上面說(shuō)的這種”歸零法“去分析和拆解,即分別一個(gè)自變量等于0,然后分析另一個(gè)自變量回歸系數(shù)的含義。

同時(shí),專(zhuān)門(mén)對(duì)于交互項(xiàng)的解讀,我們要知道它刻畫(huà)的其實(shí)是對(duì)回歸斜率或者回歸效應(yīng)值(β)的影響。

比如教育程度和性別的交互,既影響了收入對(duì)教育程度的斜率,也影響了收入對(duì)性別的斜率。

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