作者：丁點(diǎn)helper 

來源：丁點(diǎn)幫你

前面的文章主要介紹了回歸的一些關(guān)鍵詞，比如回歸系數(shù)、樣本和總體回歸方程、預(yù)測(cè)值和殘差等，今天我們結(jié)合一個(gè)案例來看看如何做完整的回歸分析，準(zhǔn)確而言，是多重線性回歸（Multiple Linear Regreesion）。

回顧：多重線性回歸

多重線性回歸，一般是指有多個(gè)自變量X，只有一個(gè)因變量Y。前面我們主要是以簡(jiǎn)單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數(shù)量，在只有一個(gè)X時(shí)，就稱簡(jiǎn)單線性回歸。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們當(dāng)然很少只納入一個(gè)自變量。多重線性回歸一般也叫“多元線性回歸”，我更支持“多重”的叫法，因?yàn)椤岸嘣币话阋仓浮耙蜃兞縔”有多個(gè)。

通過前面的文章，我們知道做線性回歸就是要構(gòu)建Y與X的線性關(guān)系，主要目的有兩個(gè)，一是確定X對(duì)Y的影響程度（即回歸系數(shù)的計(jì)算）；二是通過X來預(yù)測(cè)Y。

這里最重要的一條準(zhǔn)則是：Y需要是定量變量，就是類似于“收入”、“得分”等。而對(duì)X沒有這樣的要求，可以是定量的，如“教育年限”、“年齡”等；也可以是“性別”、“民族”等分類變量。

案例 從某高校三年級(jí)女生體檢的數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取20名作為樣本，數(shù)據(jù)包括體重(kg)、胸圍(cm)、肩寬(cm)及肺活量(L)，分析女大學(xué)生肺活量的影響因素，數(shù)據(jù)見下表：

首先簡(jiǎn)單看看上表的數(shù)據(jù)，我們想要研究女生肺活量的影響因素，所以回歸的因變量為“肺活量（Y）”，根據(jù)常識(shí)和數(shù)據(jù)，這里的Y是定量變量。

搜集的其他數(shù)據(jù)作為潛在的影響因素（X）納入回歸方程，分別是：體重、胸圍、肩寬。我們也能簡(jiǎn)單就能判斷這三個(gè)自變量都是定量變量。

（對(duì)于變量類型如何判斷還不太了解的同學(xué)，戳此回顧）

這里進(jìn)行回歸分析，一是判斷這些X是否都會(huì)影響Y（總體回歸系數(shù)是否不為0）；二是通過構(gòu)造的回歸方程，未來根據(jù)X的值計(jì)算Y的預(yù)測(cè)值。

多重線性回歸的SPSS操作

回歸分析用SPSS操作的步驟如下：

SPSS數(shù)據(jù)錄入格式

SPSS回歸分析的菜單（Linear代表線性回歸）

回歸操作窗口，Dependent為因變量，Independent為自變量，分別移入

上圖中的“Method”稱作“自變量篩選”方法，我們做線性回歸分析很重要的一點(diǎn)是找Y的影響因素，這里的“找”就意味著“篩選”。

比如本案例我們納入了三個(gè)自變量，通過回歸分析，就是要找到那些真正對(duì)Y產(chǎn)生影響的變量。最終的結(jié)果有可能三個(gè)X都有影響，則最終的回歸方程會(huì)有三個(gè)X，也有可能一個(gè)X都沒有。

我們看到Method的下拉菜單有不同的選項(xiàng)：

Enter：將自變量強(qiáng)行全部納入回歸方程，不排除回歸系數(shù)P值大于0.05的情況；

Stepwise、Remove、Backward、Forward，這些都是軟件篩選自變量的方法，雖然名稱不一，但思想相近，主要就是根據(jù)回歸系數(shù)檢驗(yàn)的P值是否小于0.05（有的是0.1）判斷回歸方程中應(yīng)不應(yīng)該有這個(gè)變量。

一般來講，沒有哪個(gè)篩選方法最優(yōu)，但實(shí)際應(yīng)用中常見的是Stepwise和Backward，建議大家自己進(jìn)行回歸分析時(shí)可以更換不同的方法嘗試，選擇自己認(rèn)為合適的方法。

本案例使用Stepwise法，中文稱為“逐步法”或“步進(jìn)法”。

多重線性回歸的結(jié)果分析

以下為SPSS分析結(jié)果展示：

表1：回歸方程的擬合程度

上表最左側(cè)一列為“Model”，表示的是SPSS篩選變量的過程，因?yàn)槲覀冞x擇的是stepwise，所以每進(jìn)行一步，即每篩選一個(gè)變量，就稱為一個(gè)Model，比如Model"1"表示只納入1個(gè)自變量，Model“2”表示納入2個(gè)，“3”表示納入3個(gè)，”4“表示最終模型剔除了一個(gè)自變量，僅納入2個(gè)自變量。

表格第2-4列分別為”R、R Square、Adjusted R Square“，一般的教科書講的很多，表示的是回歸方程對(duì)因變量的解釋程度，數(shù)值越大，解釋度越高。但它又是一個(gè)比較尷尬的數(shù)，實(shí)際應(yīng)用簡(jiǎn)單參考即可。

表2：回歸方程的整體檢驗(yàn)

這里的Model和上表1中表示的是同一個(gè)意思，代表了包括不同自變量的回歸方程。對(duì)于回歸方程的檢驗(yàn)，一般來講，都是有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的，看最后一列（Sig.）,即P值均小于0.05。

表3：回歸系數(shù)結(jié)果

表3中的Model詳細(xì)展示了變量的篩選過程，比如在Model 3中，回歸方程將三個(gè)自變量”肩寬、體重、胸圍“全部納入，但是發(fā)現(xiàn)，”肩寬“這個(gè)變量的Sig.（P值）大于0.1了，于是就將它剔除出去，從而得到模型4——只納入”體重和胸圍“兩個(gè)自變量，對(duì)照后面的P值結(jié)果，均小于0.05。

以上只是一種篩選變量的一種方法（Stepwise），通過統(tǒng)計(jì)軟件P值自動(dòng)進(jìn)行，這并不意味，所有的線性回歸分析均只能通過這種方法篩選，我們常說需要結(jié)合專業(yè)知識(shí)判斷，在做回歸分析時(shí)也不例外。

如果回歸分析的結(jié)果與專業(yè)知識(shí)相悖，比如根據(jù)專業(yè)知識(shí)有影響的變量卻被軟件剔除，那我們首先得慎重思考回歸的結(jié)果是否可信，比如是否滿足前文提及的LINE條件，是否出現(xiàn)了多重共線性問題等等；如果經(jīng)過診斷分析發(fā)現(xiàn)這些問題都不存在，在研究報(bào)告或論文中，仍可以如實(shí)地報(bào)告結(jié)果，為后面的研究提供參考。

本案例，我們還是依照統(tǒng)計(jì)軟件的結(jié)果篩選變量，得到的最終回歸方程為：

根據(jù)上表，我們寫出本研究的回歸方程：

上述結(jié)果表示，可以認(rèn)為體重和胸圍是影響該校一年級(jí)女大學(xué)生肺活量的主要因素，保持胸圍不變，體重增加1kg，估計(jì)肺活量平均增加0.081L（回歸系數(shù)”0.081“的含義，在多重線性回歸分析中也可稱作”偏回歸系數(shù)“）；保持體重不變，胸圍增大1cm，估計(jì)肺活量平均增加0.046L（回歸系數(shù)”0.046“的含義）。

另外，上表最后一列提供了一個(gè)”標(biāo)準(zhǔn)化偏回歸系數(shù)“，這是將XY分別標(biāo)準(zhǔn)化之后再進(jìn)行回歸分析，如下：

”標(biāo)準(zhǔn)化偏回歸系數(shù)“可以用來比較不同的自變量X對(duì)Y的影響程度。本例中，體重和胸圍的標(biāo)準(zhǔn)化偏回歸系數(shù)分別為0.644和0.436，意味著體重對(duì)肺活量的影響大于胸圍對(duì)肺活量的影響。

以上即為回歸分析的全過程，最后留給大家一個(gè)思考題，這里進(jìn)行的分析，表示的是X和Y的相關(guān)關(guān)系，還是因果關(guān)系？歡迎在評(píng)論區(qū)留言討論。