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主成分分析與因子分析及SPSS實(shí)現(xiàn)

2018-05-25

主成分分析與因子分析及SPSS實(shí)現(xiàn)

一、主成分分析

（1）問題提出

在問題研究中，為了不遺漏和準(zhǔn)確起見，往往會(huì)面面俱到，取得大量的指標(biāo)來進(jìn)行分析。比如為了研究某種疾病的影響因素，我們可能會(huì)收集患者的人口學(xué)資料、病史、體征、化驗(yàn)檢查等等數(shù)十項(xiàng)指標(biāo)。如果將這些指標(biāo)直接納入多元統(tǒng)計(jì)分析，不僅會(huì)使模型變得復(fù)雜不穩(wěn)定，而且還有可能因?yàn)樽兞恐g的多重共線性引起較大的誤差。有沒有一種辦法能對(duì)信息進(jìn)行濃縮，減少變量的個(gè)數(shù)，同時(shí)消除多重共線性？

這時(shí)，主成分分析隆重登場。

（2）主成分分析的原理

主成分分析的本質(zhì)是坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，將原始的n個(gè)變量進(jìn)行重新的線性組合，生成n個(gè)新的變量，他們之間互不相關(guān)，稱為n個(gè)“成分”。同時(shí)按照方差最大化的原則，保證第一個(gè)成分的方差最大，然后依次遞減。這n個(gè)成分是按照方差從大到小排列的，其中前m個(gè)成分可能就包含了原始變量的大部分方差（及變異信息）。那么這m個(gè)成分就成為原始變量的“主成分”，他們包含了原始變量的大部分信息。

注意得到的主成分不是原始變量篩選后的剩余變量，而是原始變量經(jīng)過重新組合后的“綜合變量”。

我們以最簡單的二維數(shù)據(jù)來直觀的解釋主成分分析的原理。假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)變量X1、X2，在坐標(biāo)上畫出散點(diǎn)圖如下：

可見，他們之間存在相關(guān)關(guān)系，如果我們將坐標(biāo)軸整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，變成新的坐標(biāo)系Y1、Y2，如下圖：

根據(jù)坐標(biāo)變化的原理，我們可以算出：

Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2

Y2 = sqrt(2)/2 * X1 – sqrt(2)/2 * X2

其中sqrt(x)為x的平方根。

通過對(duì)X1、X2的重新進(jìn)行線性組合，得到了兩個(gè)新的變量Y1、Y2。

此時(shí)，Y1、Y2變得不再相關(guān)，而且Y1方向變異（方差）較大，Y2方向的變異（方差）較小，這時(shí)我們可以提取Y1作為X1、X2的主成分，參與后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析，因?yàn)樗鼣y帶了原始變量的大部分信息。

至此我們解決了兩個(gè)問題：降維和消除共線性。

對(duì)于二維以上的數(shù)據(jù)，就不能用上面的幾何圖形直觀的表示了，只能通過矩陣變換求解，但是本質(zhì)思想是一樣的。

二、因子分析

（一）原理和方法：

因子分析是主成分分析的擴(kuò)展。

在主成分分析過程中，新變量是原始變量的線性組合，即將多個(gè)原始變量經(jīng)過線性（坐標(biāo)）變換得到新的變量。

因子分析中，是對(duì)原始變量間的內(nèi)在相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分組，相關(guān)性強(qiáng)的分在一組，組間相關(guān)性較弱，這樣各組變量代表一個(gè)基本要素（公共因子）。通過原始變量之間的復(fù)雜關(guān)系對(duì)原始變量進(jìn)行分解，得到公共因子和特殊因子。將原始變量表示成公共因子的線性組合。其中公共因子是所有原始變量中所共同具有的特征，而特殊因子則是原始變量所特有的部分。因子分析強(qiáng)調(diào)對(duì)新變量（因子）的實(shí)際意義的解釋。

舉個(gè)例子：

比如在市場調(diào)查中我們收集了食品的五項(xiàng)指標(biāo)（x1-x5）:味道、價(jià)格、風(fēng)味、是否快餐、能量，經(jīng)過因子分析，我們發(fā)現(xiàn)了：

x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1

x2 = 0.94 * z1 – 0.01 * z2 + e2

x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3

x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4

x5 = 0.97 * z1 – 0.02 * z2 + e1

（以上的數(shù)字代表實(shí)際為變量間的相關(guān)系數(shù)，值越大，相關(guān)性越大）

第一個(gè)公因子z1主要與價(jià)格、是否快餐、能量有關(guān)，代表“價(jià)格與營養(yǎng)”

第二個(gè)公因子z2主要與味道、風(fēng)味有關(guān)，代表“口味”

e1-5是特殊因子，是公因子中無法解釋的，在分析中一般略去。

同時(shí)，我們也可以將公因子z1、z2表示成原始變量的線性組合，用于后續(xù)分析。

（二）使用條件：

（1）樣本量足夠大。通常要求樣本量是變量數(shù)目的5倍以上，且大于100例。

（2）原始變量之間具有相關(guān)性。如果變量之間彼此獨(dú)立，無法使用因子分析。在SPSS中可用KMO檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)來判斷。

（3）生成的公因子要有實(shí)際的意義，必要時(shí)可通過因子旋轉(zhuǎn)（坐標(biāo)變化）來達(dá)到。

三、主成分分析和因子分析的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：兩者都是降維和信息濃縮的方法。生成的新變量均代表了原始變量的大部分信息且互相獨(dú)立，都可以用于后續(xù)的回歸分析、判別分析、聚類分析等等。

區(qū)別：

（1）主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新變量，強(qiáng)調(diào)新變量貢獻(xiàn)了多大比例的方差，不關(guān)心新變量是否有明確的實(shí)際意義。

（2）因子分析著重要求新變量具有實(shí)際的意義，能解釋原始變量間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

SPSS沒有提供單獨(dú)的主成分分析方法，而是混在因子分析當(dāng)中，下面通過一個(gè)例子來討論主成分分析與因子分析的實(shí)現(xiàn)方法及相關(guān)問題。

一、問題提出

男子十項(xiàng)全能比賽包含100米跑、跳遠(yuǎn)、跳高、撐桿跳、鉛球、鐵餅、標(biāo)槍、400米跑、1500米跑、110米跨欄十個(gè)項(xiàng)目，總分為各個(gè)項(xiàng)目得分之和。為了分析十項(xiàng)全能主要考察哪些方面的能力，以便有針對(duì)性的進(jìn)行訓(xùn)練，研究者收集了134個(gè)頂級(jí)運(yùn)動(dòng)員的十項(xiàng)全能成績單，將通過因子分析來達(dá)到分析目的。

二、分析過程

變量視圖：

數(shù)據(jù)視圖（部分）：

菜單選擇（分析->降維->因子分析）：

打開因子分析的主界面，將十項(xiàng)成績選入”變量“框中（不要包含總分），如下：

點(diǎn)擊”描述“按鈕，打開對(duì)話框，選中”系數(shù)“和”KMO和Bartlett球形度檢驗(yàn)“：

上圖相關(guān)解釋：

”系數(shù)“：為變量之間的相關(guān)系數(shù)陣列，可以直觀的分析相關(guān)性。

”KMO和Bartlett球形度檢驗(yàn)“：用于定量的檢驗(yàn)變量之間是否具有相關(guān)性。

點(diǎn)擊”繼續(xù)“，回到主界面，點(diǎn)擊”抽取“，打開對(duì)話框。

”方法“ =>”主成分“，”輸出“=>”未旋轉(zhuǎn)的因子解“和”碎石圖“，”抽取“=>”基于特征值“，其余選擇默認(rèn)。

解釋：

①因子抽取的方法：選取默認(rèn)的主成分法即可，其余方法的計(jì)算結(jié)果可能有所差異。

②輸出：”未旋轉(zhuǎn)的因子解”極為主成分分析結(jié)果。碎石圖有助于我們判斷因子的重要性（詳細(xì)介紹見后面）。

③抽?。簽槌槿≈鞒煞郑ㄒ蜃樱┑姆椒?，一般是基于特征值大于1，默認(rèn)即可。

點(diǎn)擊”繼續(xù)“，回到主界面，點(diǎn)擊”確定“，進(jìn)入分析。

輸出的主要表格如下：

（1）相關(guān)性檢驗(yàn)

因子分析要求變量之間有相關(guān)性，所以首先要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。首先輸出的是變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣：

可以直觀的看到，變量之間有相關(guān)性。但需要檢驗(yàn)，接著輸出的是相關(guān)性檢驗(yàn)：

上圖有兩個(gè)指標(biāo)：第一個(gè)是KMO值，一般大于0.7就說明不了之間有相關(guān)性了。第二個(gè)是Bartlett球形度檢驗(yàn)，P值<0.001。綜合兩個(gè)指標(biāo)，說明變量之間存在相關(guān)性，可以進(jìn)行因子分析。否則，不能進(jìn)行因子分析。

（2）提取主成分和公因子

接下來輸出主成分結(jié)果：

這就是主成分分析的結(jié)果，表中第一列為10個(gè)成分；第二列為對(duì)應(yīng)的”特征值“，表示所解釋的方差的大??；第三列為對(duì)應(yīng)的成分所包含的方差占總方差的百分比；第四列為累計(jì)的百分比。一般來說，選擇”特征值“大于1的成分作為主成分，這也是SPSS默認(rèn)的選擇。

在本例中，成分1和2的特征值大于1，他們合計(jì)能解釋71.034%的方差，還算不錯(cuò)。所以我們可以提取1和2作為主成分，抓住了主要矛盾，其余成分包含的信息較少，故棄去。

下面，輸出碎石圖，如下：

碎石圖來源于地質(zhì)學(xué)的概念。在巖層斜坡下方往往有很多小的碎石，其地質(zhì)學(xué)意義不大。碎石圖以特征值為縱軸，成分為橫軸。前面陡峭的部分特征值大，包含的信息多，后面平坦的部分特征值小，包含的信息也小。

由圖直觀的看出，成分1和2包含了大部分信息，從3開始就進(jìn)入平臺(tái)了。

接下來，輸出提取的成分矩陣：

上表中的數(shù)值為公因子與原始變量之間的相關(guān)系數(shù)，絕對(duì)值越大，說明關(guān)系越密切。公因子1和9個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都正相關(guān)（注意跑步運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的計(jì)分方式，時(shí)間越短，分?jǐn)?shù)越高），看來只能稱為“綜合運(yùn)動(dòng)”因子了。公因子2與鐵餅、鉛球正相關(guān)，與1500米跑、400米跑負(fù)相關(guān)，這究竟代表什么意思呢？看來只能成為“不知所云”因子了。

（三）因子旋轉(zhuǎn)

前面提取的兩個(gè)公因子一個(gè)是大而全的“綜合因子”，一個(gè)不知所云，得到這樣的結(jié)果，無疑是分析的失敗。不過，不要灰心，我們可以通過因子的旋轉(zhuǎn)來獲得更好的解釋。在主界面中點(diǎn)擊“旋轉(zhuǎn)”按鈕，打開對(duì)話框，“方法”=>“最大方差法”，“輸出”=>“旋轉(zhuǎn)解”。

點(diǎn)擊“繼續(xù)”，回到主界面點(diǎn)擊“確認(rèn)”進(jìn)行分析。輸出結(jié)果如下：

這是選擇后的成分矩陣。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，可以看出：

公因子1得分越高，所有的跑步和跨欄成績越差，而跳遠(yuǎn)、撐桿跳等需要助跑類項(xiàng)目的成績也越差，所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指標(biāo)，可稱為“奔跑能力”。

公因子2與鐵餅和鉛球的正相關(guān)性很高，與標(biāo)槍、撐桿跳等需要上肢力量的項(xiàng)目也正相關(guān)，所以該因子可以成為“上肢力量”。

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，可以看出公因子有了更合理的解釋。

（四）結(jié)果的保存

在最后，我們還要將公因子儲(chǔ)存下來供后續(xù)使用。點(diǎn)擊“得分”按鈕，打開對(duì)話框，選中“保存為變量”，方法采用默認(rèn)的“回歸”方法，同時(shí)選中“顯示因子得分系數(shù)矩陣”。

SPSS會(huì)自動(dòng)生成2個(gè)新變量，分別為公因子的取值，放在數(shù)據(jù)的最后。同時(shí)會(huì)輸出一個(gè)因子系數(shù)表格：

由上圖，我們可以寫出公因子的表達(dá)式（用F1、F2代表兩個(gè)公因子，Z1~Z10分別代表原始變量）：

F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10

F2同理，略去。

注意，這里的變量Z1~Z10，F(xiàn)1、F2不再是原始變量，而是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換后的變量。

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